2026年浙江省高等数学高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）

一、计算题(每小题14分,满分70分)

令。取对数：

当时，极限为型，故由洛必达法则，得 

通分并取指数，得

2.计算积分.

【解】交换积分次序. 原区域为，

可写成

，即

先对积分，得故

又

于是

  进一步带入上面递推公式可得.

【解】令，级数化为. 由于

故和函数为

，即，得-4<x<2.在端点x=-4和x=2处级数通项不趋于0，故发散. 收敛域为(-4,2).

5.计算

，其中在极坐标中表示为

【解】注意即，对应直角坐标. 又，.区域在直角坐标下为，即

由，改写被积表达式为

于是由直角坐标转换为极坐标下的二重积分表达式的关系式，及，故直角坐标系下的二重积分为

其中.

先对积分：令，.当时；当时.故

再对积分，得.

对于右侧的积分，令，，，得

所以

二、(20分)

已知椭球面与平面相切，求常数及切点坐标.

【解】椭球面在点处的法向量为 .平面法向量为，则平面与椭球面相切要求法向量平行，即 对应坐标成比例，从而有

故.代入平面方程，得

解得.于是切点坐标为

代入椭球面方程，得

三、(20分)

求曲线围成的面积.

【解】令，代入原方程，整理可得曲线的参数方程为

当从到时，恰好转完这个闭环.由格林公式可知，所求面积为

由

可得

于是由对坐标的曲线积分的直接计算法，得

因此，曲线围成的面积为.

四、(20分)

设数列，满足：.若收敛，证明收敛.

【证明】设.由于收敛，故其有界.设存在使得.由递推式 ，则有.

利用归纳法，取，可证对所有均有.因此是有界数列.

记的上极限为，下极限为，对等式两边取极限，取上极限得，取下极限得.

联立上述两式解得：.即上下极限相等，故数列收敛，且极限值为

五、(20分)

设是单调函数，证明：

【证明】不妨设在上是单调递增的. 若单调递减，则可考虑，证明过程类似. 记区间中点为，并记，则需证对于任意，均有：

即证明：

将积分区间分为两部分：和.因为是中点，所以这两个区间的长度均为.

1. 当时，对于，由于单调递增，故.此时 ，，两式相减，得

故在区间上的积分为

对于，利用绝对值不等式， 令，则有

故在区间上的积分为

将和两部分的积分相加，得

1. 当时，对于，由于单调递增，故.此时 ，，两式相减，得

   故在区间上的积分为

   对于，同样利用绝对值不等式，有

   故在区间上的积分为

   将和两部分的积分相加，得到：

   当时显然成立.

   综上所述，对于任意的，均有，即

   因此，该积分在时取得最小值