2020年考研数二真题解析(刷题版)

一、试题

1. 选择题

（1）

当  时，下列无穷小量中阶最高的是

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： D

解析： 比较各项的等价无穷小：

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

阶数最高的是 D。

（2）

函数  的第二类间断点的个数为

• (A)  个
• (B)  个
• (C)  个
• (D)  个

答案： C

解析： 间断点来自 。

• ：，为第二类间断点；
• ：，为可去间断点；
• ： 发散，为第二类间断点；
• ：分母 ，极限发散，为第二类间断点。

故第二类间断点共有 3 个。

（3）

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： A

解析： 令 ，则 。原式化为

（4）

已知函数 ，当  时，

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： A

解析： 由

得

故  的系数为 ，于是

（5）

关于函数

给出下列结论：

其中正确的个数为

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： B

解析：

• ①：，故 ，正确；
• ②：当  时， 极限不存在，所以  不存在，错误；
• ③：无论沿坐标轴还是  的路径，，正确；
• ④：先令 ，有 ，再令  仍得 ，正确。

故正确的是 ①③④，共 3 个。

（6）

设函数  在区间  上可导，且 ，则

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： B

解析： 由  得

故  单调递增。取 ，有

即

故选 B。

（7）

设 4 阶矩阵  不可逆， 的代数余子式 。记  为矩阵  的列向量， 为  的伴随矩阵，则方程组

的通解为

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

其中  为任意常数。

答案： C

解析： 因 ，说明删去第 1 行第 2 列后得到的 3 阶子式不为 0，于是第  列线性无关。又因  不可逆，，故  的通解由这 3 个线性无关列向量张成，即

（8）

设  为 3 阶矩阵， 为  的属于特征值  的线性无关特征向量， 为  的属于特征值  的特征向量。则满足

的可逆矩阵  可为

• (A) 
• (B) 
• (C) 
• (D) 

答案： D

解析： 若 ，则  的三列必须依次对应特征值  的特征向量。

•  仍是特征值  的特征向量；
•  是特征值  的特征向量；
•  是特征值  的特征向量。

且三者线性无关，所以 D 正确。

2. 填空题

（9）

设

则 

答案：

解析： 由参数方程

得

于是

代入  得 。

（10）

答案：

解析： 交换积分次序：

令 ，则 ，故原式为

（11）

设 ，则 

答案：

解析： 设 ，则 ，故

在  处，，且

所以

（12）

斜边长为  的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐。记重力加速度为 ，水的密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为

答案：

解析： 取深度为  的水平条，压强为 ，宽度为 ，故微元力

于是

（13）

设  满足 ，且 ，，则 

答案：

解析： 方程  的通解为

由  得 ，故 。因此

（14）

行列式

答案：

解析： 通过初等变换可将原行列式化为

故其值为

3. 解答题

（15）

求曲线  的斜渐近线方程。

解析： 设

当  时，

故

所以斜渐近线为

（16）

已知函数  连续且 ，，求 ，并证明  在  处连续。

解析： 对 ，令 ，则

因此

又因  且  连续，所以 。于是

再看连续性：

故  在  处连续。

（17）

求函数  的极值。

解析： 由

得驻点满足

解得驻点  与 。

二阶偏导为

判别式

• 在  处，，不是极值点；
• 在  处， 且 ，为极小值点。

极小值为

（18）

设函数  的定义域为  且满足

求 ，并求曲线 ，， 及  轴所围图形绕  轴旋转所成旋转体的体积。

解析： 原式为

把  换成 ，再乘以 ，得

联立两式解得

由  得

所围平面图形绕  轴旋转，用壳层法：

令 ，则

（19）

设平面区域  由直线 ，， 与  轴围成。计算

解析： 区域  由  围成，改用极坐标：

且

原积分化为

而

故原积分为

（20）

设函数 。

1. 证明：存在 ，使得 ；
2. 证明：存在 ，使得 。

解析：

(1) 令

则

由连续函数零点定理，存在 ，使 ，即

(2) 取 ，对  与  在  上用柯西中值定理，存在 ，使

由于 ，得

（21）

设函数  可导，且 ，曲线  经过坐标原点 。 为其上任意一点，点  处的切线与  轴交于点 ，又  垂直  轴于点 。已知由曲线 、直线  以及  轴所围图形的面积与  的面积之比恒为 ，求满足上述条件的曲线方程。

解析： 设曲线上点 ，则切线在  轴上的截距点为

故

题设给出

即

两边对  求导，化简得

令 ，并把  写成 ，则

解得

即

分离变量积分：

又曲线过原点，故 ，于是

由  知 。

（22）

设二次型

经过可逆线性变换

化为二次型

1. 求  的值；
2. 求可逆矩阵 。

解析：

(1) 二次型  的矩阵为

其特征值为

而

有两个正惯性指数、一个零惯性指数。故应有

从而

(2) 当  时，

令

则 。再取

即可化为

故可取

（23）

设  为 2 阶矩阵，，其中  是非零向量且不是  的特征向量。

1. 证明  为可逆矩阵；
2. 若 ，求 ，并判断  是否相似于对角矩阵。

解析：

(1) 若  不可逆，则  与  线性相关，即 ，这说明  是  的特征向量，与题意矛盾。所以  可逆。

(2) 由

得

于是

故

其特征多项式为

有两个不同特征值 ，因此  相似于对角矩阵