2025一2026年中考数学三模压轴题解析(9)

        (9)2025年中考河北省

             三模数学第23题

在平面直角坐标系中，经过点(1，3)的

抛物线C： 

              y=1/2x²+bx+c

与y轴交于点A.

(1）写出b, c之间满足的数量关系；

(2）条件ⅰ：点B(-4，yo)在抛物线C上，

且AB//x轴；

条件ⅱ：关于x的方程

            1/2x²+bx+c=0

有两个实数根x₁，x₂，且x₁·x₂=1，

请从条件ⅰ、ⅱ中任选一个，求抛物线C 

的解析式；

(3）在⑵的基础上，将抛物线C向右

平移4个单位长度，再向下平移13/2个

单位长度后得到抛物线C'，抛物线C与

x轴正半轴交于点 E，与y轴交于点F ,

①定义：对于点G(x₁，y₁), K(x₂，y₂)，

若点L的坐标为((x₁+x₂)/2，(y₁+y₂)/2)，

则点L为线段GK的特殊点，

已知点P(m₁，n₁)，Q(m₁+3, n₂）是抛物

线C'上的两个动点，连接PQ，D为线段

PQ的特殊点，当点P在x轴的下方时，

求点D纵坐标yD的取值范围；

②已知直线l与抛物线C'交于M，N两点

(线段MN在线段EF的下方)，连接EM,

FN，直线EM与直线FN交于点H，如图1,

                    图1

当MN//EF时，点H的横坐标是定值，

请你直接写出该定值 .

【解析】(1）将点(1，3)代入 

           y=1/2x²+bx+c

中，得到

            b+c=5/2，

(2）选条件ⅰ，

 AB//x轴， B(-4，yo)，

∴抛物线C的对称轴为直线 

                x=-2,

∴-b/(2x1/2)=-2，

解得 b =2.

∴c=1/2，

∴抛物线C的解析式为

              y=1/2x²+2x+1/2；

选条件ⅱ:

由题意可

           c/(1/2)=1，

解得 c=1/2，

∴ b=2

抛物线 C 的解析式为

              y=1/2x²+2x+1/2；

(3)①抛物线C的解析式为

                y=1/2x²+2x+1/2

                  =1/2(x+2)²-3/2，

由题意可得抛物线C'的解析式为 

                 y=1/2(x-2)²-8,

∴P(m₁， 1/2(m₁-2)²-8)，

   Q( m₁+3，1/2(m₁+1)²-8),

∴点D的纵坐标为

yD=1/2[1/2(m₁-2)²-8+1/2(m₁+1)²-8]

    =1/2(m₁-1/2)²-55/8，

当1/2(x-2)²-8=0时，

解得 x₁=6，

       x₂=-2,

∵点P在x轴的下方，

∴-2<m₁<6,

∵1/2>0，

当m₁=1/2时，

yD取得最小值，

yD=-55/8，

当m₁=6时， 

yD取得最大值，

yD＝33/4，

∴-55/8＜yD＜33/4；

②点H的横坐标是3，

由①可得E(6，0)，

        y=1/2(x-2)²-8

          =1/2x²﹣2x-6.

当 x=0时， y=-6,

∴F(0，-6)，

可得直线EF的解析式为 

                y=x-6,

设点M的坐标为(m，1/2m²-2m-6)，

   点 N 的坐标为(n，1/2n²-2n-6)，

∵MN//EF ，

设直线MN的解析式为 

             y=x+t,

∴x+t=1/2x²-2x-6,

∴1/2x²-3x-6-t=0,

∴m+n=6，

∴点N的坐标可以表示为

       （6-m，1/2m²-4m)，

设直线FN的解析式为

              y=k₂x+b₂，

 将(0，-6)，（6-m，1/2m²-4m)代入， 解得 k₂=(m²-8m+12)/(12-2m)，

        b₂=-6，

∴直线FN的解析式为

       y=(m²-8m+12)x/(12-2m)-6，

同理可得直线EM的解析式为

       y=(m²-8m+12)x/(12-2m)

               -(3m²-12m-36)/(6-m)，

∵直线EM与FN交于点H ,

∴(m²-8m+12)x/(12-2m)-6=

              (m²-8m+12)x/(12-2m)

                   -(3m²-12m-36)/(6-m)，

整理得 m(m-6)x=3m(m-6)，

∵线段MN在线段EF的下方，

∴0<m<6,

∴ x=3，即点H的横坐标为定值3 .

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