也可以在文末点击阅读原文下载
（建议将微信字体设置到最小后阅读）
（建议关闭深色模式后阅读）
26考前百题 084 |极有技巧的 分组求和+裂项放缩 高考真题！
注： 之前说过的考前百题计划每30题（或20、10题等）出一个合辑，然后整理成电子解析版和学生版一同发到群里。
最近考前百题更的有点多，因为快完不成“百”这个目标了……（push→生产队的驴，快点！
该题素材选自 2011 年普通高等学校招生考试（天津卷）（原卷可以在推文《同学，你该做真题了！》文末关键词回复获取）。该题是一道经典的高考压轴数列题，需要利用到分组求和、裂项放缩和角标平移等技巧。
今天将此题收录到考前百题中（→_→《26考前百题系列文章合集，更新中！》）
【2011 年天津卷理科T20】（关注：Hi数学派）已知数列 与 满足： ，，，且 ，.（1） 求 ，， 的值；（2） 设 ，，证明： 是等比数列；（3） 设 ，，证明：（）.
解析：
（1）（关注：Hi数学派）由 可知，当 为奇数时 ；当 为偶数时 。
已知递推式为
且 ，
依次代入 ，，
时， 时， 时，
（2）（关注：Hi数学派）已知 。在原递推式中，分别令 为 、 和
当 （奇）时： 当 （偶）时： 当 （奇）时：
由 得
将其代入 式中替换 ，得到
又因为
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，即
（3）
①（关注：Hi数学派）（求数列 和 的通项公式）
由 （2） 知
通过累加法（或迭代）可求奇数项
由 （2） 中 ，结合上式平移项数可得偶数项
已知 ，分类讨论
若有 项，即下标为偶数
若有 项，即下标为奇数
②（关注：Hi数学派）（分组求和与化简）
原式求和共有 项，我们将其每 4 项分作一组（即 ，，，），设第 组的和为 。
代入前面的公式化简得
两两配对通分
于是，前 项的总和为
这里运用平移角标的技巧，（关注：Hi数学派）将后半部分的求和指标平移
因为
合并同类项得到
③（关注：Hi数学派）（裂项放缩证明不等式）
注意到当 时，，故
裂项相消可得
将此代回 中，得
（关注：Hi数学派）由于
对于一切 均成立。
故后面括号内的整体大于 ，由此得证
另外， 时上式放缩连加项为空，但
（关注：Hi数学派）显然成立
综上所述原命题得证
