(3)2025年中考四川省
成都市三模数学第26题
如图1，在平行四边形ABCD中，O为
AC的中点，直线l与边BC重合，将直线l
绕点B旋转，旋转角为α, AM⊥直线l于
点M, CN⊥直线l于点N，连接OM、ON .
图1
(1）如图1，当直线l绕点B逆时针旋转
α(0<α<30°）时，请直接写出OM、ON
的数量关系是_________________；
图2
(2）如图2，当直线l绕点B顺时针旋转
α(0°<α<30°）时，请判断⑴中的结论是
否成立，并说明理由；
(3）若旋转角α=15°，当平行四边形
ABCD为正方形，且边长为2√2时，
请直接写出线段 MN 的长.
【解析】(1）延长NO，交AM于点E ,
图3
∵ AM⊥I ，CN⊥I，
∴AM//CN ,
∴∠OAE=∠OCN ，
∵点O为AC中点，
∴AO=OC ，
在△AOE与△OCN 中
∵∠OAE=∠OCN ，
AO=OC ,
∠EOA=∠NOC ，
∴ △AOE≌△CON (ASA),
∴OE=ON ，
∵△ENM为直角三角形，
∴OM=EO=ON，
(2）解：成立，理由为：
延长NO、MA，交于点 E, 如图4，
图4
∵AM⊥I，CN⊥l，
∴AM//4CN ，
∴∠MEN=∠CNE ，
∵点O为AC 中点，
∴ AO=OC ，
∵∠EOA=∠NOC ，
∴△AOE≌△OCN (AAS),
∴OE=ON ,
∵△ENM为直角三角形，
∴OM=EO=ON ；
(3）情况1：如图5，逆时针旋转15°,
图5
∵AC为正方形的对角线，
∴∠ACB=45°,
∵∠NCB=180°-∠BNC-∠NBC
=75°，
∴∠NCE=∠NCB-∠ACB
=30°,
∵AM⊥l，CN⊥l,
∴AN//NC ，
∴∠MAE=∠NCE=30°,
在Rt△AME中，
ME=1/2AE,
同理 NE=1/2CE ,
∴MN=ME+NE
=1/2AC
=1/2√(AB²+BC²)
=√[(2√2)²+(2√2)²]
=2；
情况2：如图6，顺时针旋转15°，
延长NO、MA交于点H，
连接OB，并过O点作OP⊥I ，
图6
∵ AM⊥I，CN⊥I，
∴AM//CN ,
∠AMB=∠BNC=90°,
∴∠MHN=∠CNH，
∵点O为AC中点，
∴AO=OC ,
∵∠HOA=∠NOC ,
∴△AOH≌△CON (AAS),
∴OH=ON，AH=CN ，
∵△HNM为直角三角形，
∴OM=OH=ON ,
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°, AB=CB，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠CBN ,
∴∠BAM=∠CBN，
∴△MAB≌△NBC (ASA),
∴AM=BN，MB=CN ,
∴ MA+AH=BN+MB ,
∴MH=MN ，
∴MO⊥HN，
∴∠MON=90°，
∵OP⊥l，
∴PM=PN ,
∵∠OBC=45°, ∠CBN=15°,
∴∠OBP=60°,
∴∠BOP=30°,
∴BP=1/2OB=1,
∴OP=√(OB²-BP²)
=√3，
在Rt△MON中，
MP=OP=NP=√3，
MN=MP+NP=2√3，
综上所述，MN的长为2或2√3 .
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