2026年丘赛分析与微分方程组真题

2026年丘赛试题-分析与微分方程

考试时间：2026年5月16号上午 8-10

这是今年丘赛的分析与微分方程组赛题

试卷一份 | 2026年丘赛试题-分析与微分方程

问题1.设

证明：(a)

(b)  是无理数．

问题2.设对任意 的 复矩阵  ，定义

（a）若  是满足  的  复矩阵，则有

（b）若  是满足

的  复矩阵，则有

问题3.设  是在  上的光滑函数，固定实数  ，使得  .  假设

则有

问题4.假设  表示  上连续函数构成的空间，而  上的无穷范数为

则  是 Banach 空间. 如果  的闭线性子空间  的元素是由  上的多项式所构成，则

问题5.如果考虑  上带周期边界条件的热方程

（1）请写出  的一组标准正交基，并证明二阶导数算子

在定义域

上是一个自伴算子.

（2）回顾热方程的基本解，它是指定义在  上的函数  满足：

（a）对  ，  是热方程的解；
（b）对  ，当  时， 弱收敛于 ，即对任意满足  在  上连续函数  ，则有

求热方程的基本解  ，并验证它满足条件（a）与（b）.

（3）对每个固定的  ，基本解  在何处取得最大值？当  时， 有什么发现？并证明当  很小时，则有

其中

即存在常数  ，使得对  ，都有

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