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编者按：本系列预计每周发布1期中考数学压轴题的解析与点评。内容以服务长沙地区的考生为主，其他地区也可参考。题目选择按真题优先、长沙和其他教育发达省份题目优先、时间靠近优先的原则选取。
每题具体展开内容包括详细解析、思路分析和试题点评三个模块。再配合视频讲解，透过题目全方位挖掘解题需要掌握的知识、方法、思路和数学思想的各层次内容。切记做题不是目的，掌握做题的能力才是真正的目标。
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上海.2025.24
原题：
图1 中考数学-上海-2025-压轴24题
详细解析：
视频1 中考数学-上海-2025-压轴24题解析
图2 中考数学-上海-2025-压轴24题解析
思路分析：
1. 题设的抛物线a = 1，形状一定，本质上只有平移变换，哪怕没看出AB是y = 1与之的交点，也不影响带入后把b和c解出来。
2.1. 抛物线升级为3个参数的自由度，但a不为1即形状必须与之前的不同，仍然过A和B可以等价和方便地消去m和n，仅留下最高次项系数a。此处C和P是1中的定点，对应的D和Q点是和a有关的动点。故CD和PQ都可以写成a的式子，带入计算就能自然消掉了。看起来，在顶点纵坐标上的差距就能刻画a的差距，进而体现在曲线与y = 1的固定交点AB有固定相对位置关系的y轴的交点距离上了。
2.2. 梯形的定义是只有一组对边平行，显然已有，也只能是PQ和CD。那另外一组则为直角梯形的直角，即只剩下哪条腰的选择。实际只有D和Q两个动点，随a变化，找到∠CDP和∠CQP分别为90°的位置，当作确定其形状的最后一个特征，即为所求。
试题点评：
从北京到上海，题目看上去就毫无违和感。虽然风格套路都完全不同，但是从考察思维能力，数感，形感等方面的总和能力的水平来看，都是上乘佳作。2问中并没有什么超纲或难的知识，需要对梯形的定义有明确记忆，直角梯形的取得条件有明确分类解析。最后还要求对抛物线随着a变化产生的实际定性变化过程有足够准确的想象力，才能保证求得的解是不重复和不遗漏的。这些都是答案背后对数学能力的隐藏考察，数学知识和形式逻辑都只是游戏规则，只是比围棋稍微复杂点罢了，真正到解决问题游戏才刚刚开始。一个复杂度适中的数学游戏，还能变成区分能力尚佳的考察能力的题目，还真得是个巧妙的艺术品。
上海.2025.25
原题：
图3 中考数学-上海-2025-压轴25题
详细解析：
视频2 中考数学-上海-2025-压轴25题解析
图4 中考数学-上海-2025-压轴25题解析
思路分析：
1.1. 解法不少，在平行四边形背景下的图形，有两侧的平行线带来的A字和8字相似结构，也可以随时恢复其来自三角形旋转全等的组成部分。这里需要证明相等的角相隔很远，但都含有一条可作以E为中点的隐藏的三角形中线的边，不管是叫倍长中线还是更本质的构造中心对称全等或者平行四边形，都轻松可以转移到同一个三角形中去。接着只要一层等式传递就能得到需要的等腰三角形的边相等即可证明。
另外一个思路是过E作AB的平行线，也可以把要证明的角平移到一起，变成证明角平分线的问题，在等腰三角形中用三线合一即可。总之E和F作为平行四边形的从动点，并没有什么自由度，是完全可解的。而平行四边形的尺寸、边长比和角度值都不影响推导过程的成立。
1.2. 改为CF = DF，那就是双中点，依旧没有任何新自由度。比例都给定过，要求面积比的三角形可以在所夹的平行线内根据相似比的平方转化走。如果没有被双线和平行线的一条所截，那就补上平行线，剩下的就等底或等高的面积比转为边的比即可。另外，按割补法的思路重新表示其面积，也一定可以在平行四边形边长比和角度移动情况下给死面积的比例关系，是仿射对称的性质。
2. 这里给了3条边的长度，其中平行四边形边长比给定，F的相对位置给定了。看起来E是作角平分线来的，而再加上的一个角相等条件则说明这个四边形的唯一内角的形状参数也大概率是确定的，整个四边形的所有几何要素应该都是确定的。照理来说，一定可以把所有边都搞定的。这里的核心工具就是勾股定理和相似/全等三角形，而这里显然没有直角条件带来的勾股，也没有全等，关键必然是需要的就是通过角的相等撬动边的成比例的相似来来做。首先是补齐8字的平行线内的相似结构，接着就有角平分线加平行线的等腰三角形条件。由此构造出4个相等角后，就能发现有公共交的弦切角相似三角形模式。
另外一组相似的角度相等还需要一些等式的等价变形，其中的结构是平角的划分和三角形内角和的相等。因此当它们有公共角，再加上相等的局部角，就能代数计算出另外一个等角∠C和∠FEA，由此构成相似的核心角度关系。加上原角平分线，得出△FEA∽△FCE。
由于变量的选择众多，等量关系也众多，如何能快速找到合适的最少的中间变量，以及最适合的边关系的结论，在尽量少碰其他边的情况下，当作代数化简消元问题迅速解出目标，成了这里最大的难题。这里就得一边凭感觉猜，并一边敢于尝试，舍得走弯路，才能尽力最快的获得可行解。
试题点评：
这题一个特殊的点是，一题多解的解法多到数不清，这其实给分数增加了稳定性。因为放低了要求，只需要找到一种突破口和可行路径就行，你可以按照掌握和习惯的方式来。但是这无疑增加了判卷的难度，工作量可想而知。就题目本身来说，还是那句话，如果把课本上的知识只是看作游戏规则，那题目的这个游戏还是相当精彩的。1中2个问题其实就来自简单的图案和并不复杂的相似和比例关系，只有认清这些关系的模式和本质，不是死记硬背，就能顺藤摸瓜找到思路。而且也没有太多现成的定势图的影子，更不需要二级结论，看出确实不鼓励这种靠记忆，没能力体现的考察内容。2则是角度变换找相似的比较上难度的考察，除了正常的等式传递倒角外，用上了等式加减等价变形，且有3个角在参与，得熟悉这种倒角的模式才有可能找得到和敢于推导。
另外，最后的求解其实很像一个代数问题，只不过等量关系来自几何定理罢了。其难点则在于怎么找到最佳的消元策略，计算量小而美地把已知和结论连接起来，这种包装在几何问题背后的代数观察能力，是隐藏的考察点，还真是能看出数学思维的速度、准确度、判断力、执行能力等等全方位考察。而这些能力似乎也没有比数学更厉害的智商测试的载体了，因为它真的可以无缝衔接到学习和完成任何其他事情上去。但前提是就这点数学素材，不能是纯死记硬背来的，要真正有把题目背后需要的能力学到手。此为通识理科教育的泛化能力之妙也。
共勉！
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