有一段时间没有更新了，一来是身体有点不舒服，二来是考完一模之后这段时间各种忙，最近又开始收集一些有代表性的中考压轴题给学生训练一下，也顺带在公众号与大家分享一下， 下面来分享一题“几何动态最值“的问题，它串联了直角三角形、等边三角形、正方形三类核心图形，覆盖了共圆判定、相似构造、轨迹思想三大中考高频考点。
一、题目呈现
【原题】(1) 如图①，在中，，，，以为直径作，点是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为______。
(2) 如图②，是等边与的公共边，且，。点是等边内部一点，且满足，求线段的最小值；
(3) 如图③是某生态公园的部分示意图，正方形是一块绿地，经测量。政府计划对该绿地及周边区域进行重新规划利用，在射线上取一点，沿、修两条小路，并在小路上取点，将段修建为供游客休息的走廊（走廊宽度忽略不计）。根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求供游客休息的走廊的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由。
在课堂上带学生拆完就会发现：三问的核心逻辑完全一致，都是“通过角相等锁定动点轨迹→找到轨迹上的临界位置→用线段差求最值”，区别只是载体图形越来越复杂，情境越来越贴近现实。
第(1)问：入门级——用“直角对直径”锁圆轨迹
方法点拨：三步破题法
我给学生总结的口诀是：遇等角先找互余，遇直角就联直径，求线段最值连圆心。
先抓题干里的“隐形直角”：，所以，自然得到； 代入已知条件，等量替换后得到，直接推出； 根据“直径所对的圆周角是直角”，反过来就能确定：所有满足的点，都在以为直径的圆上。
解题过程
解：(1) ∵ ，∴，即。又∵，∴，∴，∴ 点在以为直径的上（直径所对圆周角为直角）。
如图，连接 交 于点 ，此时 最短（两点之间线段最短，圆内一点到圆上一点的最短距离是“圆心到该点的线段减去半径”）。
∵ 是中点，，∴。在中，，，，由勾股定理得。∴的最小值。
第(2)问：进阶级——用“互补共圆”处理四点共圆
方法点拨：共圆判定+最值转化
两个核心工具：
另外还要提醒：遇到等边三角形和圆结合，优先考虑“三边相等→半径相等→等边三角形”的嵌套关系。
完整解题过程
解：(2) ∵ ，，∴ ，∴ 点 、、、四点共圆（对角互补，四边形有外接圆）。
如图，作 的外接圆，连接、、，交于点，交于点，此时最短（是圆外定点，连线与圆的交点到最近）。
∵ ，∴ 圆心角（同弧所对圆心角是圆周角的倍）。又∵，∴是等边三角形，∴。
∵ 是等边三角形，∴，∴，∴ 四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∴与互相垂直平分，平分，∴，。
在 中，，∴（菱形对角线互相平分）。又∵（半径），∴的最小值。
第(3)问：应用级——从几何模型到实际情境的迁移
方法点拨：相似嵌套+轨迹锁定
这一问的核心是两层相似的叠加，可以拆成了两步：
第一次相似定乘积关系：和有公共角，再加，直接证相似，得到，交叉相乘得，而，所以； 第二次相似定轨迹：看 和 ，已经有 ，还有公共角 ，所以这两个三角形也相似，推出 ——这就直接锁定了点 在以 为直径的圆上！
到这里，问题就和第(1)问完全同构了：求定点 到圆 的最短距离，连圆心 和 ，减半径即可。
完整解题过程
解：(3) 的长度存在最小值，理由如下：∵ 四边形 是正方形，∴ ，。
在 和中，（公共角），（已知），∴（AA相似），∴，即。又∵，∴。
连接 ，以为直径作，则。在和中，（已证），（公共角），∴（SAS相似），∴，∴ 点在以为直径的圆上运动（直径所对圆周角为直角）。
连接 交 于点 ，此时 最短（两点之间线段最短）。
在 中，，，，由勾股定理得。∴，即当与重合时，取得最小值，最小值为。
方法归纳：这类题的通用解题框架
动态几何最值题解题清单：不管题干怎么变，按这个步骤走就不会乱：
