2024河北中考数学真题

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试

数学

(满分120分,考试时间120分钟)

一、选择题(本大题共16个小题,共38分.1~6小题各3分,7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是()

2.下列运算正确的是()

A.a⁷-a³=a⁴B.3a²·2a²=6a²C.(-2a)³=-8a³D.a⁴÷a⁴=a

3.如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是()

A.AD⊥BCB.AC⊥PQC.△ABO≌△CDOD.AC∥BD

(第3题)(第5题)

4.下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为()

A.1B.2C.3D.4

5.观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的()

A.角平分线B.高线C.中位线D.中线

6.如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是()

ABCD

7.节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是()

A.若x=5,则y=100B.若y=125,则x=4

C.若x减小,则y也减小D.若x减小一半,则y增大一倍

8.若a,b是正整数,且满足=a与b的关系正确的是()

A.a+3=8bB.3a=8bC.a+3=b⁸D.3a=8+b

9.淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=()

A.1B.-1C.+1D.1或+1

10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:

已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,          连接CD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,          ∴　　　　①　　　　.又∵∠4=∠5,MA=MC,          ∴△MAD≌△MCB(　　　　②　　　　),∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形. 

若以上解答过程正确,①,②应分别为()

A.∠1=∠3,AASB.∠1=∠3,ASAC.∠2=∠3,AASD.∠2=∠3,ASA

11.直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α+β=()

A.115°B.120°C.135°D.144°

(第11题)(第12题)

12.在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是()

A.点AB.点BC.点CD.点D

13.已知A为整式,若计算-的结果为A=()

A.xB.yC.x+yD.x-y

14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S;该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为S_n,若m=m与n关系的图象大致是()

ABCD

15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图(1)所示的“表格算法”,图(1)表示132×23,运算结果为3036.图(2)表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图(2)中现有数据进行推断,正确的是()

图(1)图(2)

A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“”表示5

C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为4100a+1025

16.平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.

例:“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后,到达点P₃(2,2),其平移过程如下:P₃(2,2).

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q₁₆(-1,9),则点Q的坐标为()

A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)C.(6,0)或(8,0)D.(5,1)或(7,1)

二、填空题(本大题共3个小题,共10分.17小题2分,18~19小题各4分,每空2分)

17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验,几天后观察并记录种子的发芽数分别为:89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为. 

18.已知a,b,n均为正整数.

(1)若n<10     <n+< span>1,则n=;       </n+<>

(2)若n-1<a     <n,n<< span>b       <n+< span>1,则满足条件的a的个数总比b的个数少个.         </n+<>      </n,n<<>

19.如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C_1,C2,C3是线段CC₄的五等分点,点A,D_1,D2是线段DD₃的四等分点,点A是线段BB₁的中点.

(1)△AC₁D₁的面积为; 

(2)△B₁C₄D₃的面积为. 

三、解答题(本大题共7个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(本小题满分9分)

如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12.

(1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值;

(2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值.

21.(本小题满分9分)

甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同.

(1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a=1,b=-2时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.

(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.

22.(本小题满分9分)

中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为α;淇淇向前走了3m后到达点D,透过点P恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均在同一平面)

(1)求β的大小及tanα的值;

(2)求CP的长及sin∠APC的值.

23.(本小题满分10分)

图(1)是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.

该纸片通过裁剪,可拼接为图(2)所示的钻石型五边形,数据如图所示.

(说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余)

图(1)图(2)

图(3)图(4)

操作嘉嘉将图(1)所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形.

如图(3),嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图(4)所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程,解答问题:

(1)直接写出线段EF的长;

(2)直接写出图(3)中所有与线段BE相等的线段,并计算BE的长.

探究淇淇说:将图(1)所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形.

请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图(5)所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段PQ)的位置,并直接写出BP的长.

图(5)

24.(本小题满分10分)

某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试,考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩x(分)换算为报告成绩y(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分.换算规则如下:

当0≤x     <p< span>时,y=;      </p<>

当p≤x≤150时,y=+80.

(其中p是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)

公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为p及p以上)为合格.

(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分,若p=100,求甲、乙的报告成绩.

(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分,若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分,请推算p的值.

(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表:

①直接写出这100名员工原始成绩的中位数;

②若①中的中位数换算成报告成绩为90分,直接写出该公司此次测试的合格率.

25.(本小题满分12分)

已知☉O的半径为3,弦MN=25,△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=32.在平面上,先将△ABC和☉O按图(1)位置摆放(点B与点N重合,点A在☉O上,点C在☉O内),随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在☉O上随之移动,设BN=x.

(1)当点B与点N重合时,求的长.

(2)当OA∥MN时,如图(2),求点B到OA的距离,并求此时x的值.

(3)设点O到BC的距离为d.

①当点A在上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值;

②直接写出d的最小值.

图(1)图(2)备用图

26.(本小题满分13分)

如图,抛物线C₁:y=ax²-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C₂:y=-(x-t)²+t²-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P.

(1)直接写出a的值和点Q的坐标.

(2)嘉嘉说:无论t为何值,将C₁的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C₂上.

淇淇说:无论t为何值,C₂总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

(3)当t=4时,

①求直线PQ的解析式;

②作直线l∥PQ,当l与C₂的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标.

(4)设C₁与C₂的交点A,B的横坐标分别为x_A,xB,且x_A     <x< span>_B.点M在C₁上,横坐标为m(2≤m≤x_B).点N在C₂上,横坐标为n(x_A≤n≤t).若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,直接用含t和m的式子表示n.      </x<>

(学习是一场马拉松 ，累了就暂且放松一下，但要记得继续奔跑🏃‍♀️……)