24-25A-15. 二重积分计算（8分）

题目： 计算二重积分 ，其中 。

解答：

首先分析被积函数与积分区域。令

积分区域  被曲线  分割为两部分：

于是

计算 

在  上采用平移极坐标：

则 ，积分化为

计算 

在  上采用标准极坐标：

此时 ，积分化为

合成最终结果

区域示意图

\begin{tikzpicture}[scale=0.6, thick]
  % 填充区域：D2 淡红, D1 淡蓝
  \fill[red!10]   (0,0)  circle (2);
  \fill[blue!20]  (0,-1) circle (1);
  % 圆边界
  \draw[thick] (0,0)  circle (2);
  \draw[thick] (0,-1) circle (1);
  % 坐标轴
  \draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$y$};
  % 区域标签（优化位置）
  \node at (2.2,2.2)               {$D: x^2+y^2\leq 4$};
  \node at (0,-2.4)                {$D_1: x^2+(y+1)^2\leq 1$};
  \node at (-1.5,1.8)              {$D_2 = D\setminus D_1$};
\end{tikzpicture}

(上图为 TikZ 代码，需在相应环境中渲染)