一、选择题
1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1
已知当 时， 与 是等价无穷小，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析： 当 时，
故
与 等价，必有
故选 A.
2
设 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解.若常数 使得 是该方程的解， 是该方程对应齐次方程的解，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
解析： 非齐次解线性组合仍为原方程解时，特解系数和应为 ；齐次解对应系数和应为 .故
解得
故选 B.
3
设函数 由方程 （ 为非零常数）确定，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析： 设
则
由隐函数求导公式，
两式相减得
故选 A.
4
设线密度为 的细直棒两端点分别位于 和 ，质量为 的质点位于 ， 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
解析： 取棒上点 的微元 ，其到质点的距离为 .微元引力大小为
由对称性，水平方向分力抵消，只需取竖直分量：
故总引力为
故选 D.
5
设函数 在区间 上有定义，则
- A. 当 在 单调递减、在 单调递增时， 是极小值
- B. 当 是极小值时， 在 单调递减、在 单调递增
- C. 当 的图形在 上是凹的时， 在 上单调递增
- D. 当 在 上单调递增时， 的图形在 上是凹的
答案： C
解析：
- A 错： 取 则单调性满足，但 不是极小值.
- B 错： 取 则 是极小值，但两侧单调性不满足.
- C 对： 若图形在 上是凹的，则割线斜率随点右移而增大，因此在 上单调递增.
- D 错： 取 ，上式单调递增，但 在 不恒号，不是凹函数.
故选 C.
6
已知函数
的反函数为 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
解析： 因 ，故
由变上限积分求导，
于是
反函数求导公式给出
故选 B.
7
设函数 在区域
上连续，且 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
解析： 由对称性，
选项 D 的求和区域正对应三角形区域 ，且网格边长为 ，因此
恰好对应上述二重积分.故选 D.
8
单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵.设 为 阶置换矩阵， 为 的伴随矩阵，则
- A. 为置换矩阵
- B. 为置换矩阵
- C.
- D.
答案： B
解析： 置换矩阵的逆矩阵等于其转置，仍是置换矩阵，所以 B 正确. 又
因此 不一定还是置换矩阵，且 C、D 也都不是恒成立.故选 B.
9
设矩阵
若存在矩阵 满足 ，则
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
解析： 意味着 的每一列都应属于 的列空间.
对第一列 ，设
由方程组得
再代入第四行得
同理，对第二列 ，解得
故
故选 A.
10
设三阶矩阵 满足
且 ，则下列结论错误的是
- A.
- B. 只有零特征值
- C. 不能都是对角矩阵
- D. 只有一个线性无关的特征向量
答案： D
解析： 原式化为
即
从而
因此：
- A 对： 平方为零，立方当然也为零.
- B 对： 若 是 的特征值，则 ，故 .
- C 对： 若二者都为对角矩阵，则差仍为对角矩阵；对角矩阵平方为零只能是零矩阵，这与 矛盾.
- D 错： 例如 但其对应零特征值可有两个线性无关特征向量.
故选 D.
二、填空题
11~16 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11
设 为常数，若反常积分
收敛，则 的取值范围是 ________.
答案：
解析： 分两端讨论：
- 当 时，，故被积函数收敛条件为 .
- 当 时，，故被积函数收敛条件为 .
综上，
12
答案：
解析： 化为
利用展开式
得分子为
分母为 ，故极限为
13
曲线
在点 处的曲率半径为 ________.
答案：
解析： 对方程求导：
代入 得
再求一次导并代入 ，得
曲率
故曲率半径
14
已知函数 可微，且
记
则
答案：
解析： 由全微分知
由链式法则，
代入 时，，故
15
函数
在区间 上的平均值为 ________.
答案：
解析： 平均值为
令 ，则
16
设矩阵
若二次型
的规范形为 ，则 ________.
答案：
解析： 规范形只有一项，说明
故
即两行成比例.于是
由
得
故
三、解答题
17~22 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17
（本题满分 10 分）
计算
解： 改用极坐标
区域对应为
故
其中
且
因此
18
（本题满分 12 分）
已知函数 连续.设
求 的表达式，并判断 在 处的连续性.
解： 当 时，令 ，则
故
再看 .因 ，
由积分中值定理，
其中 介于 与 之间.于是
因此
再由同样的中值定理，
故
所以 在 处连续.
19
（本题满分 10 分）
求函数
的极值.
解： 先求偏导：
令
得驻点
再求二阶偏导：
- 在 处，不是极值点.
- 在 处，故为极大值点.
极大值为
结论： 只有一个极大值
在点 处取得；无极小值.
20
（本题满分 12 分）
已知 是曲线
的拐点， 为原点.记 是第一象限中以曲线
线段 及 正半轴为边界的无界区域，求 绕 轴旋转所成旋转体的体积.
解： 先求拐点.由
令 ，得
于是直线 的方程为
旋转体体积为
第一部分：
第二部分用公式
故
综上，
21
（本题满分 12 分）
求微分方程
满足条件
的解.
解： 方程不显含 ，令
则
化为
再令
则
代入得一阶线性方程
解得
由
得
所以
即
积分得
再由
得
故所求解为
22
（本题满分 12 分）
已知向量组
记
- 证明： 是 的极大线性无关组；
- 求矩阵 使得 ，并求 .
（1）证明： 将 行化简：
故
而 显然线性无关，所以它们构成一个极大线性无关组.
另外由化简结果可直接读出
（2）解： 由上式，
故
设
则
于是
又因为
故
从而
