1617期 天津导数真是改编香饽饽！（回归高考真题系列09，近5年天津导数改编题）

该篇素材选自近期刚考的大庆26届高三第三次教学质量检测T19、湖南长郡中学26届高三下学期模拟预测T19、福建龙岩市2026届高三5月质检T19、福建漳州26届毕业班质检（漳州三检）T19（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“26届模拟卷”获取）。无一例外，这些导数压轴全都改编自历年天津高考导数压轴！天津导数压轴历年都被不少模考改编，尤其是24年的，去年被改今年还被魔改，天津导数不知道养活了多少模考卷出题老师！这一篇就来历数一下近5年天津导数经典改编题。

• 一、近期被改编自天津高考的导数压轴
• 二、25年天津导数压轴
• 1、新未来这道“改编”题
• 2、回顾25年天津高考T20
• 三、24年天津导数压轴
• 1、重庆26届康德9月开学调研“改编”题
• 2、成都七中25届高三开学考“改编”题
• 3、被赤裸裸的包装成“新”定义压轴
• 4、回顾24年天津高考T20
• 5、该题指数存在的范围
• 四、23年天津导数压轴
• 1、广州25届高三零模“类似”题
• 2、回顾23年天津高考T20
• 五、22年天津导数压轴
• 1、济南25届高三一模“改编”题
• 2、回顾22年天津高考T20
• 六、21年天津导数压轴
• 1、人大附中22届高三10月考“改编”题
• 2、回顾21年天津高考T20

一、近期被改编自天津高考的导数压轴

该节题目来自近期的模考题，这里暂不给详细解析了，可以仿照下面小节高考原题解析步骤作答，另外原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“26届模拟卷”获取。

【大庆26届高三第三次质检T19】（关注：Hi数学派）已知函数 （）.（1） 若函数 ，讨论  的单调性；（2） 若函数  有  个极值点 ，，，且 .（i） 求实数  的取值范围；（ii） 证明: 

注： 该题改编自去年25年天津高考导数压轴

【湖南长郡中学26届高三下模拟T19】（关注：Hi数学派）已知函数  和  的定义域均为 ，其中 ，.（1） 求  的极值.（2） 若  ，使得 .（i） 当  时，求  的取值范围；（ii） 求证: .

注： 该题改编自去年22年天津高考导数结合柯西不等式，更多此类型题目可以参看小派之前的推文《早已考烂的柯西不等式型（双变量问题系统精讲系列13）》

【漳州26届毕业班第三次质检T19】（关注：Hi数学派）已知函数 ，，.（1） 求函数  的单调区间；（2） 若 ，求  的最大值；（3） 若函数  有零点，证明: .

注： 该题改编自去年22年天津高考导数结合柯西不等式，可以参看小派之前的推文《26考前百题67 | 一眼柯西不等式型（距离型）多变量》，《早已考烂的柯西不等式型（双变量问题系统精讲系列13）》

【福建龙岩26届高三5月质检T19】（关注：Hi数学派）已知函数 （1） 求  的极小值点；（2） 已知 （）对任意  都成立，求整数  的最大值；（3） 已知  ，证明：

注 该题改编自去年24年天津高考导数压轴，更多此类型题目，可以参看小派之前的推文《1485期 天津导数双变量，又又被魔改！以后是每年都有吗！》

二、25年天津导数压轴

1、新未来这道“改编”题

【河南新未来26届高三10月联考T19】（关注：Hi数学派）已知函数 ，.（1） 当  时，求曲线  在点  处的切线方程；（2） 若  有  个零点 ，，，且 .（i） 求  的取值范围；（ii） 证明：

解析：

（1）

（2） 此题作一个  变换就成了25年天津导数压轴了，由于该变换是反演变换，不是很直观，下面将该题和天津25导数压轴题都先作一个 ，然后可以从图像上直观的看出两题的关系，本质其实是一样的

记  （，，），则

 有  个零点等价于  有  个根

记  （，，），则

 有  个零点等价于  有  个根

（关注：Hi数学派可以看出二者关于  轴对称，只不过这里零点都规定了从小到大 ，所以最后要证明的式子需要改一下下标，本质是一样的

2、回顾25年天津高考T20

【25年天津卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 （1） 当  时，求  在点  处的切线方程；（2） 有  个零点， ，， 且（）.（i） 求  的取值范围；（ii） 证明：  .

解析：

（1） 当  时，

 在点  处的切线方程为

（2）（i） 记  （，，），则

 有  个零点等价于  有  个根

当  时，，

当  时，，

当  时，，

（关注微信公众号：Hi数学派） 的图像如图 1 所示

（ii） 由 （i） 可知

且

① 易知

所以

有对数均值不等式可得

故

② 易知

设 ，则 

所以

即

（关注微信公众号：Hi数学派）解得

所以

由《放缩不等式》 可知

所以

由均值不等式可得

所以

所以

③ 所以

得证。

注1： 第 ② 中的  为何要这样放缩？

结合 ① 可知

只需证

即证

开方即证

因此

这便是需要找到并证明的放缩式，上面步骤中应用的是常见放缩不等式  并结合基本不等式配凑出来的，如果想不到，求导证明也行。

注2： 解析中的对数均值不等式和放缩不等式在答题卡上需要书写证明，有关对数均值不等式的证明参看小派之前的推文《1439期 26一轮回归教材系列1（出现在新教材里的导数放缩不等式）》 。

三、24年天津导数压轴

这道天津导数压轴确实够经典的！在24年该题就被成都七中开学考改编过，今年又被重庆2026届康德9月开学调研改编，此外还有被赤裸裸包装成新定义压轴的！不过感觉都没有成都七中那道题改编的好，因为前面小问至少给同学搭了梯子！不过都一样，对于双变量问题，解决方法就是想办法消元！这里采用同样的方法来解决这三道题，可以看出这三题解题思路几乎是一个模子刻出来的。

1、重庆26届康德9月开学调研“改编”题

【重庆26届康德9月开学调研T19】（关注微信公众号：Hi数学派）设函数 （1） 讨论  的单调性和极值；（2） 证明：；（3） 已知  为常数，且 ，，若 ，，

证明：

解析：

（1）

令  得 ，  得 

 在  单调递减，在  单调递增

 的极小值为 ，无极大值

（2）证明：

注： 有关放缩不等式可以参看小派之前的推文《1439期 26一轮回归教材系列1（出现在新教材里的导数放缩不等式）》

（3） 不妨设 

设 ，则 

因此

以  为主元，设 ，

 在  上 

因此只需证（关注微信公众号：Hi数学派）

即

（i） 对于式  只需证

设 ，

① 当  时，

 在  单调递增

所以  不恒成立

②（关注微信公众号：Hi数学派）当  时，

令  得

对上式取对数可得

 在  单调递减，在  单调递增

所以

只需

（关注微信公众号：Hi数学派）等价于

解得

即

（ii） 对于式 ，易知函数

关于  对称

（关注微信公众号：Hi数学派）令

，使得 

 在  单调递增，在  单调递减

有对称性可知 ，

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

由 （i） 可得，当  时，有

① 若 ，

② 若 ，

即当  式恒成立时，  也恒成立

综上， 得证

注： 该题中的还用到了找点技巧，可以参看小派之前的推文《1440期26一轮回归教材系列2（借新教材里的高考题讲取点卡根技巧）》，对于常用比大小数值，比如题中的  可以参看《1427期 新Ⅰ卷比大小，将是今年模考必考题型！比大小14法》

2、成都七中25届高三开学考“改编”题

【成都七中25届高三上开学考T19】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数  .（1） 判断  的单调性；（2） 求函数 ， 的值域；（3） 证明：，

解析：

（1） 在  单调递增（求导即可证）

（2） 求导得 

放缩可得

令 

 在  上 ，在  上 

 在  上 

又 ，

故  的值域为 

注： 放缩不等式  可以参考小派之前的推文《1439期 26一轮回归教材系列1（出现在新教材里的导数放缩不等式）》

（3）主元法：

设 ，则 

因此

以  为主元，设 ，

 在  上 

因此只需证（关注微信公众号：Hi数学派）

即

① 对于  式，只需证 

设 ，

 在  上 ，在  上 

故   成立，即 

② 对于  式，由 （2） 即可证

综上，

注1： 对于  式，下面给一个更简单的方法

可以发现函数  与 函数  关于  对称

由函数图像可知

当  时，

（后面的  即式 ）

当  时，（关注微信公众号：Hi数学派）

故   成立，即 

3、被赤裸裸的包装成“新”定义压轴

【河南新高中创新联盟25届高三模拟T19】（关注微信公众号：Hi数学派）若函数  满足：，均有  成立，则称函数  为 “绝对平方根函数”.（1） 判断  是否为绝对平方根函数，并说明理由；（2） 证明:  为绝对平方根函数.

解析： 参考下文24天津导数压轴

4、回顾24年天津高考T20

【2024年天津高考T20】（关注微信公众号：Hi数学派）设函数  .（1） 求  图像上点  处切线方程；（2） 若  在  时恒成立，求  的取值范围；（3） 若 ，证明：

解析：

（1）（详解略）

（2）

令 

，

 在  上 ，在  上 

① 当  时，

 在  上 ， ，不符合题意

② 当  时，

 在  上 ，在  上 

 ，符合题意

③ 当  时，

 在  上 ， ，不符合题意

综上所述，  ，  的取值范围为 

（3）

法一，构造单调性同构

可以看出原不等式是对称轮换式，也就是改变  的位置，式子等价不变，即（关注微信公众号：Hi数学派）

也就是  的地位等价，不妨设 ，则

① 对于左边不等式：

易知当  时，，则

即

要证

只需证

即证

令 

，

得证（关注微信公众号：Hi数学派）

② 对于右边不等式：

易知当  时，

要证

只需证

即证

令 

，，

，，

 在 

得证（关注微信公众号：Hi数学派）

注： 有关单调性同构可以参考小派之前的推文《1143期 导数同构套路技巧》

法二，主元法

当  时，，成立

当  时，由于  的地位等价，不妨设 

设 ，则 

因此（关注微信公众号：Hi数学派）

以  为主元，设 ，

 在  上 

因此只需证

即

① 对于  式，只需证 

设 ，

 在  上 ，在  上 

故   成立，即 

② 对于  式，可以发现函数  与 函数  关于  对称

由函数图像可知

当  时，

（后面的  即式 ）

当  时，（关注微信公众号：Hi数学派）

故   成立，即 

综上，

5、该题指数存在的范围

从以上两题不难发现，两题第 （3） 问不等式右边绝对值的指数存在上界，即

指数  存在最大值，该最大值是多少呢？

综合以上两题的解答可知，该问题等价于

由常用函数图像可知

所以 ，即 

另外，当  时，，此时  无意义

因此指数  的范围为 

四、23年天津导数压轴

2023年天津卷导数压轴T20是利用导数证明数列型不等式，主要涉及高等数学中对阶乘的等价估计公式——斯特林（Stirling）公式，可以参看小派之前的推文《1465期 导数证明数列型不等式技巧第3篇（斯特林公式背景）》

1、广州25届高三零模“类似”题

【广州25届高三调研（零模）T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 （）（1） 若直线  为曲线  的一条切线，求实数  的值；（2） 若对任意的 ，函数  恒成立，且 ，求实数  的值；（3） 证明：当  且  时，

解析： 下面先给出参考答案

（1） 设直线  与曲线  相切的切点为 

又 

所以

解得

（2）证明： 由

得 

当  时，，得 ，

由 ，得  .

当  时，， 单调递减

当  时，， 单调递增

设 

当  时，， 单调递增

当  时，， 单调递减

，当且仅当  等号成立

又 ，得 ，所以 

（3）证明： 由 （2） 知，令 ，得 ，即 （）

令 （，，，），所以

所以

所以

所以

所以

注： 该题第 （3） 问也是斯特林（Stirling）公式背景，由斯特林公式可知

则

因此只需证

由放缩不等式易知

2、回顾23年天津高考T20

【23年天津卷T20】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 （1） 求曲线  在  处切线的斜率；（2） 当  时，证明：；（3） 证明：（关注微信公众号：Hi数学派）

解析：（1）

（2） 当  时，有

常见放缩不等式，证明可参看小派之前的推文《1439期 26一轮回归教材系列1（出现在新教材里的导数放缩不等式）》

（3） 几种常见解法可以参看小派之前的推文《723期【导数】今年备受好评的天津导数创新点何在？》，下面在提供一种解法

题设即证

当  时，题设显然成立.

当  时，设

其中，，，则

又由于 ，则

其中，由 （2）  可知当  时，

则

不等式左侧即证

设

下面先证明

即证

设

其中 

则

恒成立.

所以函数  在  上单调递减，即  恒成立.

则

不等式右侧即证.

注： 题设要证的不等式左端即是斯特林（Stirling）公式等价形式，如下

要证明

即证

（即斯特林（Stirling）公式取对数后的形式）

只需证

（两边同时取极限，注意不等式要加上等号）

由斯特林（Stirling）公式可知

又（关注微信公众号：Hi数学派）

显然  成立

五、22年天津导数压轴

2022年天津导数压轴，是一道经典的导数结合解析几何中距离公式的题，或是一道导数结合柯西不等式的问题，25届济南一模第18题导数压轴改编过，另外2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试的填空压轴也考过类似的问题，可以参看小派之前的推文《1365期 导数结合柯西不等式已成经典！（天津导数探究系列6）》

1、济南25届高三一模“改编”题

【25届济南一模T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知 ，，函数 ， .（1） 当  时，求  的极值；（2） 若  存在零点.（i） 当  时，求  的取值范围；（ii） 求证：

解析：（1）（2）（i） 详解参考《考前百卷34 | 济南一模，近期质量不错的一套卷！》.

（ii）

法一，距离公式： 因为函数  存在零点，所以  有解 ，其中 

若 ，而 ，故  .

故 

考虑直线  

 表示原点与直线  上的动点  之间的距离

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

 时，要证 ，只需证

即证 

令 ，

设 

， 在  上为增函数

故 

即 ， 在  上为增函数

故 ，故 

即  成立.

法二，柯西不等式： 由 法一 可知 

由柯西不等式可知

所以

注： 此法中应用到放缩不等式 （当且仅当  时取等号）和 当且仅当  时取等号），有关放缩不等式可以参看小派之前的推文《1439期 26一轮回归教材系列1（出现在新教材里的导数放缩不等式）》

2、回顾22年天津高考T20

【22年天津高考T20】（关注微信公众号：Hi数学派）， .（1） 求函数  在  处的切线方程；（2） 若  和  有公共点，（i） 当  时，求  的取值范围；(ii) 求证： .

解析：

（1）（2）（i）

(ii)

法一，距离公式： 若  和  有公共点，则  ，使得

 表示点  到直线  上的点  的距离

（关注微信公众号：Hi数学派）所以

所以

法二，柯西不等式： 若  和  有公共点，则  ，使得

由柯西不等式可知

所以

注： 此法中应用到放缩不等式 （当且仅当  时取等号），当且仅当  时取等号），以及 （），有关放缩不等式可以参看小派之前的推文《导数放缩变换技巧》，《直观图解36个放缩不等式》

六、21年天津导数压轴

21年天津高考T20出的很简单，并不含什么背景的导数压轴题，考察的是存在任意问题（今年高考后很火的题型）。尽管这道题简单，但是也被不少模考改编过，比如北京人大附中22届高三10月月考考过

1、人大附中22届高三10月考“改编”题

【人大附中22届高三10月月考T20】（关注：Hi数学派）已知 ，函数 .（1） 当  时，求曲线  在点  处的切线方程；（2） 求  的极值点个数；（3） 若存在 ，使得  对任意  成立，求实数  的取值范围.

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2、回顾21年天津高考T20

【21年天津高考T20】（关注：Hi数学派）已知 ，函数 .（1） 求曲线  在点  处的切线方程；（2） 证明  存在唯一的极值点；（3） 若存在 ，使得  对任意  成立，求实数  的取值范围.

解析：（1）（2）（3）详解群内分享