(58)2025年中考河南省
洛阳市嵩县二模数学第23题
已知△ABC和△EDF为两个全等的等腰
直角三角形，AB=4, ∠ABC=∠EDF=90°,
D为BC的中点，以点D为旋转中心，旋转
△EDF, AB交EF于点J, AC分别交EF, FD
于G, H两点．
图1
(1）如图1，当∠FDC=90°时，写出除
△ABC和△EDF全等外的其他全等三角
形；
图2
(2）如图2，当点E恰好落在边 AC 上时，
连接CF，求∠ECF 的度数；
图3
(3）旋转过程中，当DF所在的直线与边
AC垂直时，请直接写出CF²的值 .
【解答】(1)∵△ABC和△EDF 为两个
全等的等腰直角三角形，
∴AB=BC=DE=DF ,
∠E=∠C=∠A=∠F ,
∵∠FDC=90°,
∴点E，B，D，C四点共线，
∴BE = DC ,
在△EBJ和△CDH中，
∵ ∠E=∠C ，
∠JBE=∠HDC=90°,
BE=DC ，
∴△EBJ≌△CDH (AAS)，
∴ BJ=DH ，
∴AJ=FH ,
在△AJG和△FHG中，
∵∠A=∠F ，
∠AGJ=∠FGH ，
AJ=FH ，
∴△AJG≌△FHG (AAS)，
故答案为：△EBJ≌△CDH ,
△AJG≌△FHG ；
(2)△ABC和△EDF为两个全等的等腰
直角三角形，
图4
如图4，分别过点E，F作EM⊥BC于点
M , FN⊥BC交BC的延长线于点N ,
∴AB=BC=ED=FD=4,
∠EDF =90°,
∠ACB =45°,
∵D为BC的中点，
∴ BD=CD=1/2BC=2,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDN+∠EDM=90°,
∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠DEM=∠FDN ,
在△EDM和△FDM中，
∵∠DEM=∠FDN ，
∠EDM=∠DNF ，
ED=FD ，
∴△EDM≌△FDM (AAS)，
∴ FN=DM , DN=EM ,
设 BM=x ，
则 FN=DM=2-x,
∵∠ACB=45°,
∠EMD=90°,
∴△EMC为等腰直角三角形，
∴CM=EM=BC - BM
=4-x,
∴DN=4-x,
∴CN=DN-CD
=4-x-2
=2-x,
∴CN=FN ,
∵∠FNC=90°,
∴△FNC为等腰直角三角形，
∴FCN=45°,
∴∠ECF=180°-∠ACB-∠FCN
=90°；
(3)CF²的值为20-8√2或20+8√2，
理由如下：
旋转过程中，当 DF 所在的直线与
边AC垂直时，分两种情况讨论：
①当点F在BC上方时，如图5，
图5
∵DF⊥AC ，
∴∠DHC=∠CHF=90°，
∵∠ACB=45°,
∴△CHD为等腰直角三角形，
∴ CH=DH ,
在 Rt△CHD中，
CH=DH=√(CD²/2)
=√(2²/2)
=√2，
∴FH=DF-DH
=4-√2,
在 Rt△CHF 中，
由勾股定理得，
CF²=CH²+FH²
=(√2)²+(4-√2)²
=20-8√2,
②当点F在BC下方时，如图6，
图6
∵FM⊥AC ,
∴∠DMC=90°,
∵∠ACB=45°,
∴△CMD为等腰直角三角形，
∴DM=CM ,
在Rt△CMD中，
CM=DM=√(CD²/2)
=√(2²/2)
=√2.
∴FM=DF+DM
=4+√2,
在 Rt△CMF中，
由勾股定理得，
CF²=CM²+FM²
=(√2)²+(4+√2)²
=20+8√2,
综上所述，CF2的值为
20-8√2或20+8√2 .
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