知识导图
知识点总结
平面直角坐标系在多个领域中都有重要的应用和作用，以下是其一些主要的作用：
建立点与坐标的对应关系：平面直角坐标系使得平面上的每一个点都能与一对实数（即坐标）建立一一对应的关系。这种对应关系使得我们可以用数值的方式来精确描述点的位置，为后续的几何分析和计算提供了基础。
描述和分析图形：在平面直角坐标系中，可以描述各种图形，如直线、曲线、多边形等，并通过计算和分析这些图形的坐标来揭示其特性和特征。例如，通过计算直线的斜率和截距，我们可以得到直线的方程；通过计算点的坐标，我们可以确定图形的形状和位置。
研究函数图像：平面直角坐标系是研究函数图像的重要工具。通过绘制函数的图像，我们可以直观地观察和分析函数的性质，如开口方向、顶点位置、对称性等。这对于理解和解决与函数相关的问题非常有帮助。
解决实际问题：平面直角坐标系可以将实际问题转化为数学模型，通过分析几何关系来解决。例如，在物理学中，可以用平面直角坐标系来描述物体的运动轨迹和速度；在经济学中，可以用它来绘制和分析各种经济图表，以揭示经济现象和规律。
提供直观表示：平面直角坐标系为人们提供了直观地表示各种图形的方式。通过X轴和Y轴的设定，用户可以轻松地在平面上定位点，并通过坐标值来精确描述图形的位置和形状。
用。
考点一函数
1.变量与常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.
2.函数
定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1.
3.函数值
函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
4.函数的表示方法
【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示，
考点二平面直角坐标系的相关概念
1.有序数对
定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.
2.平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.
原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.
象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
【补充】
1）两条坐标轴不属于任何一个象限.
2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位
3.点的坐标
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图.
【易错点】
1）坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.2）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
考点三点的坐标的有关性质
1.点的坐标特征
点M（x，y）所处的位置 | 坐标特征 | ||
象限内的点 | 点M在第一象限 | M（正，正） | |
点M在第二象限 | M（负，正） | ||
点M在第三象限 | M（负，负） | ||
点M在第四象限 | M（正，负） | ||
坐标轴上的点 | 点M在x轴上 | 在x轴正半轴上 | M（正，0） |
在x轴负半轴上 | M（负，0） | ||
点M在y轴上 | 在y轴正半轴上 | M（0，正） | |
在y轴负半轴上 | M（0，负） | ||
点M在原点 | M（0，0） | ||
象限角平分线上的点 | 点M在第一、三象限角平分线上 | M（x，y）且x＝y | |
点M在第二、四象限角平分线上 | M（x，y）且x＝-y | ||
两点连线与坐标轴平行 | MN∥x轴（或MN⊥y轴） | M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 | |
MN∥y轴（或MN⊥x轴） | M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 |
2.点的坐标变化
对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)
变换方式 | 具体变换过程 | 变换后的坐标 |
平移变换 （a＞0，b＞0） | 向左平移a个单位 | （x-a，y） |
向右平移a个单位 | (x+a，y) | |
向上平移a个单位 | (x，y+a) | |
向下平移a个单位 | (x，y-a) | |
口诀：点的平移左减右加，上加下减. |
变换方式 | 具体变换过程 | 变换后的坐标 |
对称变换 | 关于x轴对称 | (x，-y) |
关于y轴对称 | (-x，y) | |
关于原点对称 | (-x，-y) | |
口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. | ||
旋转变换 | 绕原点顺时针旋转90° | （y，-x） |
绕原点逆时针旋转90° | （-y，x） | |
绕原点顺/逆时针旋转180° | (-x，-y) |
3.点到坐标轴的距离
4、坐标系内点与点之间的距离
【易错易混】
1）原点既是x轴上的点，又是y轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
题型总结
题型01 函数的相关概念辨析
下列图像不能反映y是x的函数的是（）
【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断．
根据函数的概念解答即可．
【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
►题型02 求自变量的取值范围
解题方法：
题型03 函数图象的识别
匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（）
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
题型04从函数图象上获取信息
化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%
【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5mL达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为12.84%，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为0.3mL时，净水率增加量为84.60%-76.54%=8.06%，絮凝剂的体积为0.4mL时，净水率增加量为86.02%-84.60%=1.42%，；故絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%，符合题意，选项正确；
故选：D
由题意，得：y=10-2x；
题型06动点问题的函数图象
题型07根据坐标系内点的坐标特征求解
在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（）
题型08 坐标与图形变化
题型09 点坐标规律的探索
平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
题型10 求坐标系中的图形面积
题型11 与图形面积有关的存在性问题
题型12 实际问题中用坐标表示位置
如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.
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