(53)2025年中考四川省自贡市
富顺县代寺学区二模数学26题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax²+bx-3
与x轴交于A(-1，0), B两点，交y轴于
点C，抛物线的对称轴是直线 x=5，
图1
(1）求抛物线的表达式；
(2）点P是直线BC下方对称轴右侧
抛物线上一动点，过点P作PD//x轴
交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，
求PD+√5/2PE的最大值及此时点P
的坐标；
(3）将抛物线沿射线BC方向平移√5个
单位，在PD+√5/2PE取得最大值的条
件下，点F为点P平移后的对应点，连接
AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线
上一点，若∠NMF-∠ABC =45°，请直接
写出所有符合条件的点N的坐标 .
【解析】 ⑴∵抛物线
y=ax²+bx-3
与x轴交于A(-1，0), B两点，
交y轴于点C，
抛物线的对称轴是直线
x=5/2，
∴ a-b-3=0，
-b/(2a)=5/2，
解得 a=1/2，
b=﹣5/2，
∴抛物线的表达式为
y =1/2x²-5/2x-3；
(2）如图2，延长PE交x轴于G，
过P作PH//y轴交BC于H ，
图2
在 y=1/2x²-5/2x-3中，
令 y=0 得
0=1/2x²-5/2x -3,
解得：x₁=-1,
x₂=6,
∴B(6，0)，
当 x=0时， y=3,
∴C(0，-3),
∴BC=√(3²+6²)
=3√5，
∴ sin∠BCO=OB/BC
=6/(3√5)
=2√5/5，
∵PH//y轴，
∴∠PHE=∠BCO ,
∴sin∠PHE=PE/PH=PH,
∴PE=2√5/5PH ,
由B(6，0), C(0，-3)得直线BC的
解析式为
y =1/2x -3,
设P(x，1/2x²-5/2x -3)，
则H(x，1/2x-3)，
∴PH=-1/2x²+3x，
∵抛物线
y=1/2x²-5/2x -3
的对称轴为直线
x=5/2，
∴PD=2(x-5/2)=2x-5,
∴PD+√5/2PE=2x-5＋
√5/2x2√5/5(-1/2x²+3x)
=-1/2x²+5x-5
∵-1/2<0,
∴当x=-5/[2x(-1/2)]=5时，
PD+√5/2PE取得最大值，
最大值为15/2，
此时P(5，-3):
(3)∵抛物线沿射线BC方向平移5个
单位，即把抛物线向左平移2个单位，
再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为
y=1/2(x+2)²﹣5/2(x+2)-3-1
=1/2x²-1/2x-7，
F的坐标为（3,-4),
如图3，当N在y轴的左侧时，
过N作NK⊥y轴于K ,
图3
由A(-1，0), F(33-4)得直线AF的
解析式为
y=-x-1,
当 x=0时，
y=-1,
∴M(0，-1),
∴∠AMO=∠OAM=45°=∠FMK ,
∵∠NMF-∠ABC=45°,
∴∠NMK+45°-∠ABC=45°,
∴∠NMK=∠ABC ,
∴ tan∠NMK=tan∠ABC
=OC/OB
=3/6
=1/2，
设N(n，1/2n²-1/2n-7)，
∴NK/MK=
-n/(-1-1/2n²+1/2n+7)=1/2，
解得： n₁=(5-√73)/2，
或 n₂=(5+√73)/2（舍去）,
∴ N((5-√73)/2，4-√73)；
如图4，当N在y轴的右侧时，
过M作y轴的垂线MT，
过N₁作N₁T⊥MT于T ,
图4
同理可得∠N₁MT=∠ABC ，
设 N₁(x ,1/2x²-1/2x-7)，
则 T(x，-1),
同理可得
(1/2x²-1/2x-7+1)/x=1/2，
解得 x₁=1+√13
或 x₂=1-√13（舍去）,
∴N₁(1+√13，(√13-1)/2),
综上所述， N的坐标为
((5-√73)/2，4-√73）
或 （1+√13，(√13-1)/2) .
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