(51)2025年中考四川省
眉山市仁寿县二模数学第26题
在△ABC中，D为线段AB上一动点，将
线段AD绕点A顺时针旋转角度α得到
AE，延长AE，BC相交于F，连接DE交
AC于点M .
图1
(1）如图1，若∠ACB=90°, D为AB的中
点，且AF=BF，连接CD，当∠CDE=45°
时，求α的值；
图2
(2）如图2，当α=60°, CF=CM,
AF=DE+EM时，连接CE，探究CE与BD
的数量关系，并证明；
(3）当∠B =45°，α=60°，AC⊥BC 时，
连接DF, P为直线DF上一动点，当线段DF
取得最小值时，连接AP，EP，将△APE
沿着AP翻折得到△APE₁，连接FE₁，取
FE₁的中点G，连接CG，EB，PB，当CG取得最大值时，直接写出△AFE₁的面积与
△PEB的面积的比值．
【解析】(1）∵将线段AD绕点A顺时针
旋转角度α得到AE,
∴∠DAE=α , AD=AE ,
∴∠ADE=1/2(180°-α)=90°-1/2α,
∵AF=BF ,
∴∠B=∠DAE=α,
又∵∠ACB=90°,
D为AB的中点，
∴DC=DB ,
∴∠DBC=∠B=α,
∴∠CDB=180°-2a,
又∵∠CDE=45°,
∠ADE+∠EDC+∠CDB=180°,
∴90°-1/2α+45°+180°-2α=180°,
解得：α=54；
(2) CE=1/2BD，
证明：如图2，延长DE，BF交于点N,
图2
∵将线段AD绕点A顺时针旋转角度α
得到AE ,
∴∠DAE=α, AD=AE ,
∵α=60°,
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=DE=AD ,
∠AED=∠ADE=60°，
∵AF=DE+EM
=AE+EF ,
∴EM=EF ,
在△CEF和△CEM中，
∵ CF=CM ，
CE=CE ，
EF = EM
∴△CEF=△CEM ( SSS )，
∴∠FCE=∠MCE ,
∠FEC=∠MEC=60°.
∴NEC = LCEA =120°,
在△NEC和△AEC中，
∵∠NEC=∠AEC ，
EC=EC ，
∠NCE=∠ACE ，
∴△NEC=△AEC (ASA)，
∴NE=AE=DE ，
∵∠CED=∠ADE=60°，
∴ CE//DB ,
∴△NCE∽△NBD ,
∴CE/BD=NE/ND=1/2，
即 CE=1/2BD ；
(3)△AFE₁的面积与△PEB的面积
的比值为2-√3，理由如下：
如图3，连接 GE ,
图3
∵∠ABC=45°,
α=60°，AC⊥BC ,
∴△ADE是等边三角形，
∠CAB=∠ABC=45,
当线段DF取得最小值时，
DF⊥AB ,
∵将△APE沿着AP翻折得到△APE₁,
∴点E₁在以A为圆心，AE的长为半径
的圆上运动，
设 AE=2a，
则 AE₁=AE=AD=DE=2a,
又∵DF⊥AB ,
∴AF=2AD=4a ,
∴DB=DF=√3AD
=2√3a,
∴AB=AD+DB
=2a+2√3a
=(2+2√3)a ，
∴ AC=√2/2AB
=(√2+√6)a，
在 Rt△DBF 中，
FB=√2DF=2√6a,
∵点G是E₁F的中点，
∴ GE//AE₁ ,
GE=1/2AE₁=a ,
∴G在以E为圆心，a为半径的圆上运动，
∵AC⊥BC ,
AE=EF=2a,
∴ EC=1/2AF=2a,
当CG取得最大值时，
E在线段CG上，
∴CG=GE+EC=3a,
∵∠FAB=60°, ∠CAB =45°，
∴∠FAC=15°,
∵AE=EC ,
∴∠FEC=2∠EAC=30°，
过点F作FS⊥GC于点S ,
∴FS=1/2EF=a ,
∴S△GEP=1/2GE·FS
=1/2xaxa
=1/2a²，
∵GE//AE₁, GE=1/2AE₁ ,
∴△FGE∽△FE₁A ，
∴S△FGE/S△FE₁A=(GE/E₁A)²
=1/4，
∴S△AFE₁的面积为4x1/2a²=2a²,
∵∠FEG=180°-∠FES=150°,
GE⊥AE ,
∴∠E₁AF=∠GEF=150°,
∵将△APE沿着AP翻折得到△APE₁ ,
∴∠PAE₁=∠PAE
=(360°-∠EAF)/2
=(360°-150°)/2
=105°,
∵ EC=EF , ∠FEC =30°，
则 ∠ECF=(180°-30°)/2=75°,
∴∠GCB=180°-∠GCF
=180°-75°
=105°,
∴ AP//BC ,
∴∠DPA=∠DFB=45°,
又∵PF⊥AB ,
∴△APD是等腰直角三角形，
∴AP =√2AD=2√2a,
AD=DP
连接PC ，如图5,
图5
∵ AD=DP ,
DF=DB ,
∠ADF=∠PDB ,
∴△AFD≌△PDB (SAS)，
∴∠AFD=∠PBD ,
∴∠PBF=∠AFB
=∠GCF
=75°,
∴PB//CG ,
∴△PEB的面积=S △ PBC
=1/2BC·AC
=1/2[(√2+√6)a]²,
=(4+2√3)a² ,
∴△AFE₁的面积与△PEB的面积
的比值为
2a²/(4+2√3)a²=2-√3 .
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