人教版中考数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）延安初高中培优15353419081
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
2. 所有试题均需在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. -3 B. 0 C. 1 D. 2
2. 下列几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 三棱锥
3. 下列运算正确的是（ ）
A. \(a^2 + a^3 = a^5\) B. \((a^2)^3 = a^6\) C. \(a^6 ÷ a^2 = a^3\) D. \(a^2 · a^3 = a^6\)
4. 已知一组数据：2，3，4，5，6，则这组数据的中位数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A. 50° B. 130° C. 140° D. 150°
6. 分式方程\(\frac{2}{x-1} = \frac{3}{x}\)的解为（ ）
A. x=3 B. x=2 C. x=1 D. x=-3
7. 已知点A（-2，y₁），B（1，y₂），C（2，y₃）在反比例函数\(y = \frac{k}{x}\)（k为常数，k≠0）的图象上，若y₁＜y₂＜y₃，则k的取值范围是（ ）
A. k＞0 B. k＜0 C. k≥0 D. k≤0
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A. \(\frac{3}{4}\) B. \(\frac{4}{3}\) C. \(\frac{3}{5}\) D. \(\frac{4}{5}\)
9. 如图，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点E，AE=2，则CD的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10. 已知二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（a≠0）的图象经过点（0，3），（-1，0），（2，3），则该二次函数的解析式为（ ）
A. \(y = x^2 - 2x + 3\) B. \(y = x^2 + 2x + 3\) C. \(y = -x^2 - 2x + 3\) D. \(y = -x^2 + 2x + 3\)
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：\(x^2 - 4 = \)__________。
12. 若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m + n = __________。
13. 一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是__________。
14. 已知关于x的一元二次方程\(x^2 - 2x + k = 0\)有两个相等的实数根，则k的值为__________。
15. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为__________。
16. 观察下列一组数：\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{2}{5}\)，\(\frac{3}{10}\)，\(\frac{4}{17}\)，…，按此规律，第n个数是__________（用含n的代数式表示）。
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分8分）计算：\(\sqrt{12} + |\sqrt{3} - 2| - (\frac{1}{2})^{-1}\)。
18.（本小题满分8分）解不等式组：\(\begin{cases} 2x - 1 ≤ 3 \\ x + 2 > -1 \end{cases}\)，并把解集在数轴上表示出来。
19.（本小题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AC上一点，且BE⊥AC，垂足为E，连接AD。
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）若∠C=30°，BE=2，求AD的长。
20.（本小题满分10分）为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为“非常了解”“了解”“基本了解”“不了解”四个等级，绘制了如下尚不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）。
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取的学生人数为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，估计该校学生中“非常了解”垃圾分类知识的人数。
21.（本小题满分10分）某商店销售一批进价为每件10元的日用商品，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件。设每件商品的售价为x元（x≥15），每天的销售利润为y元。
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22.（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，BC。
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AD=10，CD=6，求⊙O的半径。
23.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（a≠0）的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，设点P的横坐标为m，PE的长度为d，求d与m之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当点P在x轴上方时，求当m为何值时，d取得最大值，并求出最大值。
参考答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. B 【解析】绝对值最小的数是0，故选B。
2. B 【解析】圆柱的主视图是矩形，圆锥主视图是三角形，球主视图是圆形，三棱锥主视图是三角形，故选B。
3. B 【解析】A选项，\(a^2\)与\(a^3\)不是同类项，不能合并；B选项，\((a^2)^3 = a^{2×3} = a^6\)，正确；C选项，\(a^6 ÷ a^2 = a^{6-2} = a^4\)，错误；D选项，\(a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5\)，错误，故选B。
4. B 【解析】将数据从小到大排列，中间的数是4，故中位数是4，故选B。
5. B 【解析】∵a∥b，∴∠1与∠2的邻补角相等，∴∠2 = 180° - 50° = 130°，故选B。
6. A 【解析】去分母得\(2x = 3(x - 1)\)，解得x=3，检验：当x=3时，x(x-1)≠0，故x=3是原方程的解，故选A。
7. A 【解析】∵点A（-2，y₁）在第二象限，y₁＜0；点B（1，y₂）、C（2，y₃）在第一象限，y₂＜y₃，∴反比例函数图象在第一、三象限，故k＞0，故选A。
8. D 【解析】由勾股定理得AB = 5，sinA = \(\frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}\)，故选D。
9. C 【解析】连接OC，OC = 5，OE = OA - AE = 5 - 2 = 3，由垂径定理得CE = \(\sqrt{OC^2 - OE^2} = 4\)，故CD = 2CE = 8，故选C。
10. D 【解析】将三点代入解析式，得\(\begin{cases} c = 3 \\ a - b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 3 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \\ c = 3 \end{cases}\)，故解析式为\(y = -x^2 + 2x + 3\)，故选D。
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. \((x + 2)(x - 2)\) 【解析】平方差公式分解，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)。
12. -1 【解析】关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，故m = -3，n = 2，m + n = -1。
13. 8 【解析】由内角和公式\((n - 2)×180° = 1080°\)，解得n = 8。
14. 1 【解析】一元二次方程有两个相等实数根，判别式\(\Delta = (-2)^2 - 4k = 0\)，解得k = 1。
15. \(2\sqrt{13}\) 【解析】在▱ABCD中，BC = AD = 3，AC⊥BC，由勾股定理得AC = 4，对角线互相平分，设AC与BD交于点O，则AO = 2，BO = \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\)，故BD = 2BO = \(2\sqrt{13}\)。
16. \(\frac{n}{n^2 + 1}\) 【解析】分子是n，分母是\(n^2 + 1\)，故第n个数是\(\frac{n}{n^2 + 1}\)。
三、解答题（共66分）
17.（8分）解：原式 = \(2\sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) - 2\) （4分）
= \(2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} - 2\) （6分）
= \(\sqrt{3}\) （8分）
18.（8分）解：解不等式\(2x - 1 ≤ 3\)，得x ≤ 2；（2分）
解不等式\(x + 2 > -1\)，得x > -3；（4分）
∴不等式组的解集为-3 < x ≤ 2。（6分）
数轴表示：（略，注意空心圆圈表示-3，实心圆点表示2，区间连接两点）（8分）
19.（10分）（1）证明：∵AB = AC，D是BC的中点，∴BD = CD，（2分）
在△ABD和△ACD中，\(\begin{cases} AB = AC \\ BD = CD \\ AD = AD \end{cases}\)，（4分）
∴△ABD≌△ACD（SSS）。（5分）
（2）解：∵AB = AC，∠C = 30°，∴∠ABC = ∠C = 30°，∠BAC = 120°，（6分）
∵BE⊥AC，∴在Rt△BEC中，BE = 2，∠C = 30°，∴BC = 2BE = 4，（7分）
∵D是BC的中点，△ABC是等腰三角形，∴AD⊥BC，（8分）
在Rt△ADC中，∠C = 30°，CD = \(\frac{1}{2}\)BC = 2，∴AD = CD·tan30° = 2×\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。（10分）
20.（10分）（1）50 【解析】由“了解”的人数20人，占比40%，得总人数 = 20÷40% = 50。（2分）
（2）补全条形统计图：“非常了解”人数 = 50×20% = 10人，“不了解”人数 = 50 - 10 - 20 - 15 = 5人，补全即可。（6分）
（3）解：1200×20% = 240（人），（9分）
答：估计该校学生中“非常了解”垃圾分类知识的人数为240人。（10分）
21.（10分）（1）解：y = (x - 10)[200 - 10(x - 15)] （3分）
= (x - 10)(350 - 10x) （4分）
= -10x² + 450x - 3500 （5分）
（2）解：∵y = -10x² + 450x - 3500，a = -10＜0，∴抛物线开口向下，利润有最大值，（7分）
当x = -\(\frac{b}{2a}\) = -\(\frac{450}{2×(-10)}\) = 22.5时，y取得最大值，（8分）
最大值y = -10×(22.5)² + 450×22.5 - 3500 = 1562.5，（9分）
答：每件商品的售价定为22.5元时，每天的销售利润最大，最大利润是1562.5元。（10分）
22.（10分）（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD = 90°，∴∠ACD + ∠OCA = 90°，（2分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB = 90°，∴∠B + ∠OAC = 90°，（3分）
∵OA = OC，∴∠OCA = ∠OAC，（4分）
∴∠ACD = ∠B。（5分）
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD = AD - OA = 10 - r，（6分）
在Rt△OCD中，OC² + CD² = OD²，即r² + 6² = (10 - r)²，（8分）
解得r = 3.2，（9分）
答：⊙O的半径为3.2。（10分）
23.（10分）（1）解：将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入解析式，得\(\begin{cases} a - b + c = 0 \\ 9a + 3b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}\)，（2分）
解得\(\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \\ c = 3 \end{cases}\)，（3分）
∴二次函数解析式为\(y = -x² + 2x + 3\)。（4分）
（2）解：设直线BC的解析式为y = kx + b，将B（3，0），C（0，3）代入，得\(\begin{cases} 3k + b = 0 \\ b = 3 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} k = -1 \\ b = 3 \end{cases}\)，∴直线BC解析式为y = -x + 3，（5分）
∵点P横坐标为m，∴P（m，-m² + 2m + 3），E（m，-m + 3），（6分）
∴d = PE = |(-m² + 2m + 3) - (-m + 3)| = |-m² + 3m| = -m² + 3m（∵点P在x轴上方，PE为正）。（8分）
（3）解：d = -m² + 3m = -(m - \(\frac{3}{2}\))² + \(\frac{9}{4}\)，（9分）
∵a = -1＜0，∴当m = \(\frac{3}{2}\)时，d取得最大值，最大值为\(\frac{9}{4}\)。（10分）
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