2026年“Fiddie联盟”模拟测试(数学)

四季读书网 2026-05-01 06:43:44 1 0

今天发布 2026 年 Fiddie 联盟模拟测试及参考答案，并对部分题作评析．

下载方式：

我用夸克网盘分享了「Fiddie联盟模拟卷（含试卷与参考答案）」，链接：
https://pan.quark.cn/s/03a60e7918e4
（如果发现有误或有疑问，欢迎指出，将会及时更新在网盘内）

如果上述下载链接失效，在公众号后台回复 20260501 即可获取新的下载链接

试题

部分题评析

这里给出对第 8、10、11、17、18、19 题的评析，其它题的命制过程等相关事项可以看推送末尾的参考答案．

第 8 题

【试题评析】

考虑到 2025 年修订的课程标准对向量有关的内容要求进行了一些提升，故设计本题考查平面向量基本定理和投影向量有关的内容．

本题可以设，，用纯解析的方式解答，也可以从向量投影的角度来考虑．

根据投影向量的定义，就是在上的投影向量的模，表示与在上的投影向量的方向相反．设为坐标原点，，以为圆心作半径为 1 的圆，问题转化为在这个圆内找一点使得，并且与在上的投影向量方向相反．于是，所有以为起点、以圆内的点为终点的向量在上的投影向量必须包含．基于这个观察，本题的题干完全可以把也改为，并把命题甲改为．

这个结论是人工智能领域的一篇机器学习论文中用到的一个引理．根据上述从投影的解释可知，这个结论不仅对平面向量成立，实际上对任意维向量也成立．论文的引理4.1前定义了一个事件（这里简记为）为：

，使得，且与的值一个非正、一个非负．

其中，和都是已知的维向量，，是实数，

其实，事件发生当且仅当．这就是这道选择题的推广结论．

注：刚刚提到的论文是

S. S. Du, X. Zhai, B. Poczos, and A. Singh. Gradient descent provably optimizes overparameterized neural networks, 2018c. Arxiv: 1810.02054

第 10 题

【命制过程】

本题改编自 【2007湖南，文7】，但原题题干不够严谨，且没有提及“重现期”、“洪水等级”的概念，这些新概念取自鄂教版必修第四册的“阅读与讨论”．问题源于实际，洪水等级与重现期的对应关系见于《水文情报预报规范》，这是真实的规范文件，可在网上查到．

根据频率分布直方图计算分位数在人教A版必修第二册的9.2.2节例3有讲述．

【试题评析】

一、频率分布直方图的考法

频率分布直方图可以看成是一种连续型随机变量的密度函数，这个思想在2023年新课标Ⅱ卷第19题也有体现．教材上也提到过，对于独立重复试验，让试验次数越来越多，并不断减小频率分布直方图的组距，就能得到正态分布密度曲线．这是大数定律的内容．所以，在选择性必修第三册的教学中，涉及到随机变量这一块，非常建议回到必修第二册的频率分布直方图，让学生重新审视频率分布直方图与密度函数的关系及其在概率与统计上的意义．

二、分位数的考法

在中学阶段，学生仅具备初等数学的基础，因此概率、统计上的许多概念，其公理化的严格定义很难让中学生理解并接受，但作为中学教师应该正确理解，并在教学过程中根据严谨性和量力性原则进行直观的解释，而不是错误的解释．特别是不能混淆概率中的概念和统计中的概念，比如概率和频率，在教学中可以将此类概念进行对比说明．此外，还应突出重要概念的实际意义，突出用概率、统计方法解决问题的基本思想，突出知识的综合应用，通过实际问题加深学生对于概念的认识．让学生将抽象的概念与具体的生活实际相结合，从而帮助其进一步理解这些概念的深层次内涵．

来源：赵轩,任子朝. 中学数学中概率的相关概念辨析——从一道高考题谈起[J]. 数学通报,2018,57(12):1-4.

Fiddie 认为当前模拟卷对分位数的考法过多地流于表面，单纯给出几个数据让学生去求 65% 分位数、70% 分位数等等，只是机械地考查学生是否知道分位数的求解流程．这样的考法其实无法引导学生去理解分位数的统计学意义．

教材中引入分位数的概念时，是先从中位数出发，用中位数来表示一组数的中心位置．但是如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布特点的，因此，当数据个数较多时，可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点．通过这样的方式，学生可以知道分位数并不仅仅是一个冷冰冰的数学概念，而是能承载一些统计学结论的重要统计指标．

在沪教版的教师用书中提到：

百分位数是数据分析中很常用的一个量，是国家课程标准中新增的内容．随着大数据时代的到来，百分位数显得越来越重要．

虽然百分位数的定义适用于任何一组数据，也就是说任何一组数据都存在任意的百分位数，但是百分位数主要应用于数据量较大的时候，这是因为百分位是用来“定位”的．对于一组数据，我们对它进行有序排列（从小到大或者从大到小），如果知道某几个百分位数的值，也就知道了这些数在这个排列中处于什么位置，进而对这组数据的分布也就有了一定的概念．

仅仅只给几个离散数据让你去计算百分位数的题目，并不能体现百分位数的统计学含义．

人教A版中，如下定义百分位数：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．

必须强调，“按照定义可知，分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的分位数可能会有差异．”（人教A版教师用书、人教B版教材）．为了方便，课本上给出了一个针对离散数据的百分位数的计算方式．百分位数的计算方式当然也不是唯一的，学生可以尝试证明书上所给的计算方式得到的值符合百分位数的定义．

频率分布直方图与百分位数的内容可以与大学概率论衔接．具体而言，联想到连续型随机变量．

(1) 如果连续型随机变量的密度函数刚好是频率分布直方图的矩形上边缘所给出的分段常值函数，那么纵坐标就是密度的值；
(2) 频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 1 也符合概率定义中的规范性，即（其中是样本空间），正因为这个性质，我们可以用频率分布直方图中所给的频率信息来估计概率；
(3) 定义分布函数，则在(1)的假设下，是分段线性函数，，，且恰好就是直线左侧部分矩形的面积之和；
(4) 计算分位数就是求满足的一个实数，即求分布函数的逆：．

补充练习：【资料下载】2026 高考数学考前要注意的盲点！！附考前复习 10 练

附 1：两个高考题

【2007湖南，文7】

附 2：鄂教版必修第四册的“阅读与讨论”．

第 11 题

【命制过程】

本题改编 CMJ 840, Vol38, 2007．在湘教版必修第二册复习题二第16题中，研究了将一个铁棒通过一个直角走廊．本题的难点在于想到把的函数改写为的函数，这个思想在 2008 年江苏卷第 17 题也考查了．

附 1：湘教版必修第二册复习题二第 16 题

附 2：2008 年江苏卷第 17 题

本题源于著名的“移动沙发问题”（Moving Sofa Problem）：在一个宽度为 1 的平面 L 形区域中搬运一个“沙发”，这个沙发的面积的最大值是多少？

“移动沙发问题”的详细介绍可参见
https://mathworld.wolfram.com/MovingSofaProblem.html

本题的初稿如下：

考虑到全国卷的风格并不喜欢定义太多复杂的新记号，在初稿2中问题大大简化，此时第（1）问答案是．但是图容易产生的误导，最终修改后得到如下版本，一开始被设计成双空的填空题，放在第 14 题的位置．

第 17 题

【参考答案】

【命制过程】

本题改编自 2006 年全国Ⅰ卷第20题．这题的第（1）问就是用相关点法求参数方程，得到曲线．第（2）问的设计参考了 2018 年全国Ⅰ卷第 22 题（选修4-4）．

【试题评析】

本题以圆上动点的切线为起点，通过向量运算生成轨迹曲线，再引入椭圆与曲线的交点问题，最终转化为直线过定点问题．题目设置了两问：

第（1）问求轨迹方程，属于基础性的解析几何问题．它考查了圆的切线方程、向量坐标运算、消参求轨迹等基本知识与方法，属于绝大多数考生应当掌握的层次．

第（2）问在给定交点个数的条件下，证明直线过定点．这是典型的解析几何综合问题，涉及椭圆方程的设定、曲线的对称性分析、高次方程的消元转化、二次方程根的分布、隐含条件的挖掘与检验，以及定点坐标的求解．

题目结构清晰，由浅入深，入手容易深入难．第（2）问的解决需要较强的代数变形能力和逻辑推理能力，对思维的严谨性要求较高，具有较好的选拔功能．

本题最大的区分度体现在对隐含条件的检验上．从判别式得出后，若不加检验直接得出，则会得到错误的定点或者，等等．正确的做法必须回到交点存在的根本条件：联立方程组求得的必须非负（某种程度上其实跟 14 题考得有点重复）．

易错点是处理根号与绝对值时容易出错．例如：

从直接得到（即），而不是写，没有用两根和的关系式（或对称轴）得到从而舍去的情形．
从直接得到，忽略了，得出最终的错误答案是．

这些错误其实都可以通过画草图来规避．

第 18 题

【参考答案】

【命制过程】

试题改编自人教A版选择性必修第二册的5.3.2节例8．另外在湘教版选择性必修第二册的第一章“数学建模”有更详细的讨论．

附：人教A版选择性必修第二册的5.3.2节例8

附：湘教版选择性必修第二册的第一章“数学建模”

在《普通高中数学课程标准》（2017年版2025年修订）中提到：

数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．

而数学建模水平二（注：《课程标准》提到“数学高考命题不超过学业质量水平二”）是“能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题．”

通常的高考题或者上述例题都仅仅要求学生分析问题、建立模型、确定参数、计算求解，但是对发现问题、提出问题、检验结果、改进模型的建模步骤很少涉及．当然，“发现问题、提出问题”的建模步骤开放性过高，如果让学生自己提出，阅卷难以进行，故只适合作为撰写研究报告或小论文的要求，不适合闭卷考试．所以本题针对“检验结果、改进模型”进行设题，在“发现问题、提出问题”的部分直接通过题干给出．

本题的设问路径是：（1）要设计罐头的尺寸，如何设计才能使得材料成本最小？（2）“发现问题、提出问题”：在考虑制作成本的时候，不仅仅要考虑材料成本，还有其它额外的成本也要考虑进来，包括焊接成本、运输成本、仓储成本等等．这里为了简化问题，只考虑焊接成本．那在考虑新的成本的前提条件下，尺寸应该如何设计？（3）“改进模型”：题干给出的切割方式并不是最优的，我们是不是可以想办法减少材料成本？

这样，本题在“发现问题、提出问题”的角度上增加了适当的文字描述，引导考生往特定的方向思考问题；在“改进模型”的角度上设置了思考的开放性，即思考如何改进切割方式以降低成本，可行的答案其实并不多 （基本上就只能正六边形密铺），所以在阅卷的角度来看，此题也是可行的．

罐头在我们身边无处不在，从易拉罐饮料，到肉类罐头、杀虫剂，再到航空航天、高端工业、医疗设备等等，都需要制作罐头容器进行存储．多数常规应用（易拉罐饮料、肉类罐头等）的材料成本依然占主导，但在对性能、可靠性或安全性有极致要求的特定领域，焊料或粘合剂的单位成本确实会反超被连接的材料本身．为简化描述，在本题中我们把罐身罐盖的密封接合简化为“焊接”．第（2）问其实说明了：如果焊接成本远高于材料成本，那么最优半径．实际上还可以证明，如果焊接成本远低于材料成本，则应有，因为此时．

【试题评析】

本题以工业生产中的成本优化为背景，将圆柱体体积、表面积计算与导数应用、不等式分析、图形的密铺（镶嵌）等知识融为一体，是一道典型的数学建模与综合应用问题，充分体现了高考数学人才选拔的导向．

第（3）问为开放性的优化方案设计，要求考生具备空间想象能力与几何直观，能够提出合理的密排方案并通过计算验证其优越性．另外，第（3）问考虑圆的外切正六边形，这也是我国古代数学家刘徽研究“割圆术”所研究过的模型，体现了我国古代数学家的智慧．

在人教版的《选修D类：美术中的数学》的2.3节中，专门介绍了建筑装饰中的密铺，而本题答案正是正密铺（或正镶嵌）中的一种．本题意在引导学生“走出题海”，平时要多看一些与数学有关的课外科普书，提升数学方面的文化素养．

人教A版教材主编章建跃提到：

2026年的命题要求特别强调了“加强项目式、探究式的真实情境问题设计．联系到《标准日常修订版》中提出的“特别关注考查解决实际问题的数学建模能力”，可以发现高考数学命题将在考查数学建模能力上有所强化．……必须消除“高考不考数学建模”的错误认识，切实加强数学建模活动和数学探究活动的教学．
参考文献：章建跃.从新课程标准的命题建议及2026年高考命题要求看数学教学改革[J].中国数学教育, 2026(02)

虽然课程标准的修改和高考命题不是 100% 相关的，但是高考的命题依据也是参考课程标准的，且人教社是教育部所属的大型专业出版社，所以人教版教材主编的有些话还是得适当参考一下．

另外，这段类似的话在章建跃以前的期刊文章中并未出现．所以在距离 2026 年高考的最后一个月，有必要稍微对数学建模问题多加注意，找5个教材习题、5个高考小题、5个高考解答题练练就够了，涵盖解三角形、函数、数列、解析几何等板块即可，不要再大张旗鼓地搞成题型专题训练了，老师累，学生也累．

第 19 题

【参考答案】

试题作为压轴题，以正整数的二进制表示为背景，并以考生熟悉的等差数列作为知识素材，考查集合、等差数列的概念与性质、数列的递推关系；考查学生的逻辑思维、运算求解、自主探究和创新应用等能力，同时重点考查学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力；考查数列递推的基本思想与方法，同时重点考查从特殊到一般、转化与化归、分类讨论等数学思想与方法．本题是一道综合性很强、能检验考生数学思维的高质量的题目．

【命制过程】

本题的命题灵感来源是 2003 年全国旧课程卷的压轴题，该题的数列是 OEIS 数列 A018900．

该题研究的是满足下面条件的正整数构成的集合：将表示成二进制后，只有两位数是 1，其余位均为 0．数的排列是一个十分有趣而深刻的问题，古代早有“杨辉三角形”的研究，于是从这个思路开展命题设计，从数列的原型出发，抓住数的按某种规律排列这一古老而又新鲜的话题，给出类似于杨辉三角形的数表，要求考生理解排列规律，探究数表中每个位置的正整数是什么．第（1）问给了一个三角形数表，从而提醒考生做第（2）问时构造“三棱锥数表”完成解决，形成从二维到三维的推广．该题主要考查的是等差数列的求和公式及计数原理．

而与2003年高考题不一样的是，本题在命制时仅采用2003年高考题中出现的集合，并没有考虑研究由这个集合里面的正整数构成的数表，而是转为研究这个集合里面最多有多少个数字能构成等差数列．“等差子列”、“等比子列”的长度问题同样也是非常著名的一类“加性组合”的问题．这种问题在往年高考也经常考查，例如2008年江苏卷第 19 题、2024北京卷第 15 题、2015江苏卷第20题等．

点击2015江苏卷第20题的解答可以跳转到该题解答的推文中．

Erdős-Turan 的等差数列猜想： 对于正整数数列的任意子列，若其所有元素的倒数和发散，即
则含有任意长度的等差子列．

在 2004 年，Ben Green 和陶哲轩宣布证明了上述猜想的弱化版本——“存在任意长度的素数等差数列”，并于同年4月9日将论文提交至《美国数学年鉴》，该论文于2005年9月12日被接受．2004年已知最长的等差素数数列包含23个素数．

基于上述灵感来源，本题也考虑研究集合的等差子列，并设计了一个中学生能用中学数学知识解决的问题．首先设计的初稿是：

考虑到我们在做这题时本质上是在中取一些项构成等差数列，与的排列没什么关系，且为了简化记号，避免出现“下标中还有下标”导致学生面对题目更加畏惧，故把“等差子列”改成了“等差子集”．而这个版本的第（1）问对并没有添加任何额外条件，考生会更倾向于猜测不成等差数列，所以将本题的设问方式进行了改进．

最终版本的试题在上述初稿的基础上，保留题目考查本意的同时进一步缩减字数，使题目变得短小精悍．同时，为了提示学生做出第（2）问从而体现Fiddie的亲民性，将题干里的部分元素的列举进行了修改，把 5和10换成18和24．

试题设问从易到难，恰到好处，考后留下悬念，让考生从中领会数学世界的绚丽多彩，激发他们研究数学问题的兴趣，在达到考查目的的同时也为广大学生和数学爱好者留白，可以把公比 2 也推广到一般的正整数

，形如的数之和的个数推广到个，研究等差子集的元素个数的最大值．

【试题评析】

第（1）问将新定义的包装去除之后，就会发现中元素在时一定是偶数，故奇数必须满足，需要学生对集合元素结构的初步分析能力．因此，本题转化为：当时，是否成等差数列，即是否成等差数列．这是中学生比较熟悉的问题，往年高考也考了很多次，例如：

第（2）问需要学生证明等差子集有无穷多个，首先，我们可以用数列递推的思想方法，注意到中元素具有乘以 2 的封闭性，也就是说，将一个 4 元等差子集的所有元素都乘以 2 之后，可以得到新的 4 元等差子集．从等差（比）数列构造另一个等差（比）数列的结论在教材中也有提及．

而题干已经提示了，于是可以从初始的等差子集出发，乘以 2 后得到，一直下去按上述递推的方式即可得到无穷多个等差子集．

这个构造转化思想和数列递推的思想与 2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题第（2）问不谋而合．而且，这样的设问能有效考查学生面对新问题时的逻辑思维能力，能有效区分学生分析问题、解决问题的能力水平．这一问并不复杂，体现了由特殊到一般的数学思维，同时也为后续证明不存在元素个数为 5 的等差子集提供了方法上的对比．

2026年“Fiddie联盟”模拟测试(数学) 第39张第（3）问是本题的核心，要求证明不存在 (5) 元等差子集．证明过程需要综合运用多个层面的推理：首先，解决第（2）问的思路是对一个等差子集不断乘以 (2) 就可以得到新的等差子集，受这个启发，可以“反向操作”，先通过除以 (2) 将问题化归为至少含一个奇数项的情形，再分析公差的奇偶性并结合第（1）问排除全奇数和首项为奇数的情形，最后利用奇数项在 (S) 中的唯一表示导出矛盾．这一过程不仅考查了对集合性质的深入理解，还要求考生具备较强的逻辑分类与构造性推理能力．

整体来看，本题的三问层层递进，逐步深入，使得每个学生都能有所收获，都能获得相应的分数．前两问为最后一问提供了必要的铺垫和方法示范，体现了数学问题设计中“引导—深化—综合”的常见结构，对培养学生对数学的兴趣，激发学生的探究精神，引导学生开展科学研究有很好的引领作用．试题以离散数学中的简单表示为载体，考查学生从基本定义出发进行推理和构造的能力，具有较强的灵活性和选拔功能．通过解答试题展现数学探究的过程，实现对分析、推理、判断等关键能力的考查，引导学生用规范的数学语言、新定义、新符号表达推理与论证过程．

本题设计新颖，极具探索性、创新性，作为试卷的最后一题，难度合理，考查学生利用新情境、新问题的创新能力，也考查学生的情感、态度和价值观．试题引导学生面对问题要“多思考，少运算”，体现了对数学基础知识与数学核心素养的考查有机整合，具有很好的区分和选拔功能，能够有效地助力选拔创新人才．试题情境、形式的创新，着力于“反套路、反刷题”，既使试题规避重题模式，又引导中学教学破除题海，消除套路，重视培养学生思维能力，真正注重能力和素养的培养．

数列题，特别是以等差等比数列为背景的数列题作为高考中的难题，通常没有“秒杀大招”来解决．对数列知识的研究和复习，要关注以下几点：

1．熟练掌握等差、等比数列中的一些基本问题，如通项公式与求和公式的各种形式、结构特点；等差、等比数列的常见性质；判断数列是等差、等比数列的方法，常见数列求和的方法等．

2．理解和掌握等差、等比数列通项与求和公式推导中蕴含的基本方法，如累加（乘）等．

3．体会“从特殊到一般”的思想在解决数列问题中的作用．

4．用函数的观点认识和理解等差、等比等一些特殊的数列．

5．把一些特殊的数列，如作为平时学习中研究的对象，挖掘其背后所蕴含的特征，例如：