反比例函数知识清单

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一： 反比例函数的图象与性质

知识点一：反比例函数的概念

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.

反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式.

知识点二：反比例函数的图象与性质

注意：

(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.

(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.

(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比

例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.

二： 反比例函数解析式的确定方法

待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：

1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）；

2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

3）解方程求出待定系数k；

4）将所求的k值代入所设解析式中.

三：反比例系数k的几何意义

当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解.

一、一点一垂线

结论：S_△AOB=S_△CODS_△AOE=S_{四边形CEBD}S_△AOC=

二、一点两垂线

结论：S_矩形ABOE=S_矩形CDOFS_矩形AEFG=S_矩形CGBDS▱_ABCD=

三、两点一垂线

结论：S_△ABC =2S_△ABO =

如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC

=co•|y_A|+co•|y_B|=co(|y_A|+|y_B|)

如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC

=co•|x_A|+co•|x_B|=co(|x_A|+|x_B|)

四、两点两垂线

【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|

五、两点和原点

方法一：S_△AOB＝S_△COD－S_△AOC－S_△BOD．【分割】

方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S_△OAM＝S_{四边形MEFB}，则S_△AOB＝S_{直角梯形AEFB}．

方法三：S_△AOB＝S_{四边形COFD}－S_△AOC－S_△BOF. 【补形】

方法四：S_△AOB＝S_△AOD－S_△BOD＝OD•（|y_A|-|y_B|）

方法五：S_△AOB＝S_△BOC－S_△AOC＝OC•（|x_B|-|x_A|）

六、两曲一平行

类型一 两条双曲线的k值符号相同

结论：S_阴影＝|k1|-|k2|S_阴影＝|k1|-|k2|

结论：S_阴影＝|k1|-|k2|S_阴影＝|k1|-|k2|- S_{直角梯形AFDE}

类型二 两条双曲线的k值符号相同

结论：S_△AOB＝S_△ACB＝(|k1|+|k2|)S_阴影＝|k1|+|k2|

四：反比例函数与一次函数综合

1.自变量取值范围

当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>x_A或x_B         <x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<x< span>          </x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<x<>_A或x          <x< span>           </x<>_B．

2.求一次函数与反比例函数的交点坐标

1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．

①k值同号，两个函数必有两个交点；

②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；

2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．

五：反比例函数的实际应用

知识点一：用反比例函数解决实际问题的步骤

1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；

2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；

3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；

4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；

5）解：用函数解析式去解决实际问题．

知识点二：反比例函数实际应用常考题型解题方法

1.与实际情境结合的分段函数问题

(1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。

(2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。

2.跨学科应用

考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题.

中考反比例函数注意事项

1. 反比例函数基本形式为 y=k/x（k≠0），也可变形为 xy=k，k 为定值，自变量 x 不能为 0，函数值 y 也不能为 0，图像永远不与坐标轴相交。

2.k 的符号决定图像位置与增减性，k＞0 时，图像在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；k＜0 时，图像在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

3. 增减性必须强调 “在每个象限内”，不能直接说 y 随 x 增大而增大或减小，跨象限不满足增减规律，容易扣分。

4. 求反比例函数解析式，只需找到图像上一个点的坐标，代入求出 k 值即可，只有一个待定系数，计算简单但要注意符号。

5. 双曲线关于原点中心对称，关于直线 y=x、y=-x 轴对称，利用对称性可快速解题、求点坐标。

6. 过双曲线上任意一点，作 x 轴、y 轴垂线，围成的矩形面积等于 | k|，围成的直角三角形面积等于 | k|÷2，几何面积题型高频考点，注意带上绝对值。

7. 反比例函数与一次函数综合题，联立两个函数解析式解方程，求出交点坐标，注意交点有两个或一个，看清题目条件。

8. 比较函数值大小时，先看点是否在同一象限，同一象限用增减性判断，不同象限直接根据正负判断大小。

9. 实际应用问题中，自变量 x 通常为正数，图像只取单个象限的一支，不要画完整双曲线，同时注意写出自变量取值范围。

10. 取值范围、不等式题型，观察图像上下位置，以交点横坐标为分界，分段写出解集，看清是 y1＞y2 还是 y1＜y2。

11. 点在反比例函数图像上，横纵坐标乘积相等，即 x1y1=x2y2，可快速判断点是否在双曲线上。

12. 计算 k 值、面积、坐标时重点注意正负号，第二、四象限内点的坐标符号容易写错，是常见失分点。

13. 大题书写步骤要规范，代入求值、联立方程、几何推导过程完整，不省略关键步骤，避免步骤分丢失。

14. 反比例函数不存在最大值和最小值，无顶点、无对称轴，不要和二次函数知识点混淆。

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