二次函数知识清单
电子版下载方式在文章最后面！！！
一：二次函数的相关概念
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。
注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0.
知识点二：二次函数解析式的确定
1.二次函数常见表达式
名称 | 解析式 | 适用范围 |
一般式 | y=ax²+bx+c (a≠0) | 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 |
顶点式 | y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） | 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 |
交点式 | y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) | 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方ax²+bx+c=0的解 |
相互联系 | 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. |
2.对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式
(1)顶点在原点,可设为y=ax²
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c;
(3)顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²;
(4)抛物线过原点,可设为y=ax²+bx.
二：二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的图象与性质
图象特征 | 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 注意： 二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象. | |||||
基本形式 | y=ax2 | y=ax2+k | y=a(x-h)2 | y=a(x-h)2+k | y=ax2+bx+c | |
图象 | a>0 |
|
|
|
|
|
a<0 |
|
|
|
|
| |
对称轴 | y轴 | y轴 | x=h | x=h | x= | |
顶点坐标 | (0，0) | (0，k) | (h，0) | (h，k) | ( | |
最值 | a>0 | 开口向上，顶点是最低点，当x= | ||||
a<0 | 开口向下，顶点是最高点，当x= | |||||
增 减 性 | a>0 | 在对称轴x= | ||||
a<0 | 在对称轴x= |
知识点二：二次函数的图象变换
1.二次函数的平移变换
总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2)保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m);
(3)(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:
平移方式（n＞0) | 一般式y=ax2+bx+c | 顶点式y＝a(x–h) 2＋k | 平移口诀 |
向左平移n个单位 | y=a(x+n)2+b(x+n)+c | y=a(x-h+n) 2+k | 左加 |
向右平移n个单位 | y=a(x-n)2+b(x-n)+c | y=a(x-h-n)2+k | 右减 |
向上平移n个单位 | y=ax2+bx+c+n | y=a(x-h)2+k+n | 上加 |
向下平移n个单位 | y=ax2+bx+c-n | y=a(x-h)2+k-n | 下减 |
2.二次函数图象的翻折与旋转
变换前 | 变换方式 | 变换后 | 口诀 |
y=a(x-h)²+k | 绕顶点旋转180° | y= -a(x-h)²+k | a变号，h、k均不变 |
绕原点旋转180° | y= -a(x+h)²-k | a、h、k均变号 | |
沿x轴翻折 | y= -a(x-h)²-k | a、k变号，h不变 | |
沿y轴翻折 | y= a(x+h)²+k | a、h不变，h变号 |
知识点三：二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解题技巧：
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=
的差的绝对值相等；
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=
对称；
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.
三：二次函数与a，b，c之间的关系
关系 | 符号 | 图象特征 | |
a决定抛物线的开口方向 | a>0 | 开口向上 | |a|越大，抛物线的开口小． |
a<0 | 开口向下 | ||
a、b共同决定抛物线对称轴的位置 | b=0 | 对称轴是y轴 | |
ab>0(a，b同号) | 对称轴在y轴左侧 | 左同右异 | |
ab<0((a，b异号)) | 对称轴在y轴右侧 | ||
c决定了抛物线与y轴交点的位置． | c=0 | 抛物线经过原点 | |
c>0 | 抛物线与y轴交于正半轴 | ||
c<0 | 抛物线与y轴交于负半轴 | ||
由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 | b²-4ac>0 | 抛物线与x轴有两个交点 | |
b²-4ac=0 | 抛物线与x轴有一个交点 | ||
b²-4ac＜0 | 抛物线与x轴没有交点 |
注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1 时,y<0.
四：二次函数与方程、不等式
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标.
b2-4ac与 0的关系 | 二次函数与x轴交点个数 | 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 |
b2-4ac>0 | 2个交点 | 有两个不相等的实数根 |
b2-4ac=0 | 1个交点 | 有一个不相等的实数根 |
b2-4ac<0 | 0个交点 | 没有实数根 |
知识点二：二次函数与不等式的关系（以a大于0为例）
不等式以a大于0为例 | 图象 | 观察方法 | 解集 |
ax2＋bx＋c>0 的解集情况 |
| 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 | x <x< span> </x<>1或x>x2 |
ax2＋bx＋c<0 的解集情况 |
| 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 | x1 <x<x< span> </x<x<>2 |
五：二次函数的应用
知识点一：用二次函数解决实际问题的一般步骤
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
知识点二：方法技巧总结
1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值
2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题
3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值
4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
中考二次函数注意事项
一、基础概念
1. 三种解析式灵活选用，一般式 y=ax²+bx+c，适合已知三点；顶点式 y=a (x-h)²+k，适合顶点、对称轴、最值类题目；交点式 y=a (x-x₁)(x-x₂)，适合已知与 x 轴两个交点，求解析式最终尽量化为一般式。
2. 只要题目明确是二次函数，必须满足二次项系数 a 不等于 0，含参数题目要注意分类讨论。
3. 实际应用题一定要标注自变量 x 的取值范围，避免漏写扣分。
二、图像与性质
1.a 决定开口方向，a＞0 开口向上，a＜0 开口向下；b 遵循左同右异法则，判断对称轴位置；c 是抛物线与 y 轴交点纵坐标；判别式 Δ=b²-4ac，判定与 x 轴交点个数，Δ＞0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ＜0 无交点。
2. 对称轴公式 x=-b/2a，顶点横坐标为对称轴，纵坐标为函数最值，区间最值问题，要先判断对称轴是否在取值范围内，不能只代端点计算。
3. 描述增减性必须分段说明，以对称轴为分界点，规范文字表述，避免口语化作答。
三、平移与对称
1. 抛物线平移遵循左加右减、上加下减，左加右减只针对单独的 x 进行运算，切勿整体乱改系数。
2. 关于 x 轴对称，x 不变，y 取相反数；关于 y 轴对称，y 不变，x 取相反数。
四、方程与不等式综合
1. 二次函数 y=0 时，对应的 x 的值，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标，对应一元二次方程的解。
2. 函数大小比较、不等式解集类题目，以两个函数交点为分界，结合图像上下位置，分段写出解集。
五、几何大题与动点题型
1. 三角形面积优先使用铅垂高水平宽法计算，简化运算；线段、周长、面积最值常结合将军饮马、二次函数最值求解。
2. 等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题，务必分类讨论，列出方程求解，算出结果后检验，舍去不符合题意、超出取值范围的解。
3. 书写坐标分清横纵坐标，注意各象限点的符号特征。
六、答题规范与计算
1. 符号错误是高频易错点，配方、代入、解方程过程仔细运算。
2. 大题步骤完整，列式、化简、求解、检验、作答齐全，不直接写答案。
3. 二次函数应用题，最值问题作答完整，写明自变量取何值时，取得最大值或最小值。
4. 画图题使用平滑曲线绘制抛物线，对称轴用虚线标注，关键交点、顶点清晰标出。
七、考场高频避坑
1. 做题先判断 a 的正负、对称轴位置、特殊点坐标，快速掌握图像基本特征。
2. 含参数二次函数，优先考虑 a≠0 的限制条件，不漏讨论情况。
3. 限定范围的函数最值，不能直接带入两端点，优先判断对称轴位置。
4. 多解题型必须逐一检验，排除增根、不合题意的答案。
电子版下载方式：
2.扫码
