2026年《卫生统计学》公卫考研真题拆解第6期 | 厦门大学353:多重线性回归的最优模型选择!

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含义： 回归平方和在总平方和中所占的百分比，反映模型中所有自变量共同解释因变量Y变异的比例。

取值范围： 0≤R²≤1

•R²→1：模型拟合效果极好

•R²→0：模型几乎无解释力

本题示例： 编号15的模型R²=0.61，表示X₁、X₂、X₃、X₄四个自变量共同解释了Y变异的61%，剩余39%的变异由模型外的其他因素或随机误差解释。

💡 评分关键：公式正确得1分；解释”解释变异比例”得1分；举例说明得1分。

回归方程： 编号15的模型

理由： 回归效果的优劣主要通过R²判断，R²越大，模型对样本数据的拟合效果越好。

编号15的R²=0.61是所有模型中最大的，说明该模型包含的自变量能最大限度地解释Y的变异，因此回归效果最好。

⚠️ 注意：“回归效果最好”≠“最优模型”！R²随自变量增加而单调递增，即使新增变量无意义，R²也会虚高。

最优多重线性回归方程的选择需同时结合调整R²、Cp统计量两个核心指标，判断原则如下：

①调整R²最大：反映模型拟合优度，且不受自变量个数增多的虚假升高影响。

②Cp最小且最接近模型中自变量个数m：Cp 越小表示模型无偏、误差小、无多余变量，最优模型要求Cp ≈ m。

结合本题数据：第14号模型 调整R²=0.58（所有模型中最大）；第14号模型 Cp=3.36（所有模型中最小），模型包含3个自变量（X₂、X₃、X₄），Cp 最接近自变量个数m= 3；该模型拟合效果好、无多余自变量、模型简洁稳定。

因此，第14号模型为最优回归方程。回归方程为：

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三者关系图示：

自变量个数增加    ↓R²：持续上升（即使新增变量无意义）→ "贪婪"    ↓调整R²：先升后降（找到最优后下降）→ "理性"    ↓Cp：先降后升（最小值点附近最优）→ "精准"

Cp的理想状态：

本题15个模型的Cp分布：

本题方法： 所有可能子集回归（p=4，共15个模型），保证找到全局最优。

本题潜在问题： X₁在多个模型中系数不稳定（编号1:1.03，编号5:0.83，编号15:0.15），提示可能存在多重共线性。

处理策略： 若X₁与其他变量高度相关，可考虑剔除或进行主成分分析。

编号14最优模型的系数解读：

系数标准化比较（Beta系数）：

若需比较不同自变量的相对重要性，应计算标准化回归系数（Beta），消除量纲影响。

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