这是2025年南京中考试卷中的题目，涵盖二次函数的图像变换、函数与坐标轴的交点、二次函数的增减性与对称轴的关系等，需要多步推理、分类讨论，有一定难度。下面是该题的解析，供朋友们参考。
（2025南京中考-26）
（1）将函数的图像向右平移2个单位长度，平移后的函数图像与轴交点的纵坐标是________；
（2）平移函数的图像，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图像上. 设平移后的函数图像的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化.
① 若，当时，求的取值范围.
② 设函数的图像与轴、轴的交点分别为，点在线段上. 当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：(a) 随的增大而增大；(b) 随的增大而减小；(c) 随的增大先增大后减小；(d) 随的增大先减小后增大. 其中，所有可能出现的序号是__________.（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
思路解析
（1）该小题属简单的常规问题。
将函数的图像向右平移2个单位长度，平移后的函数为：
.
所以，平移后的函数图像与轴交点的纵坐标是-2.
（2）该小题虽较为繁琐，但从解题思路角度看，仍属常规问题。
该题考查二次函数的增减性与对称轴的关系：当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴右侧，函数值随自变量的增大而减小。如果对称轴位置是可变的，需要根据对称轴位置的情况进行分类讨论。
根据题意，平移后函数为：，
当时，函数图像与轴交点的纵坐标.
①对称轴位置是确定不变的，函数的增减性是确定的，不需要进行分类讨论。
若，.
所以，是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，
当时，取最大值：；
当时，取最小值：.
所以，当时，的取值范围为：.
②对称轴位置是可变的，需要结合对称轴位置进行分类讨论。
函数的图像与轴、轴的交点分别为，
所以，，.
根据题意，点在线段上，即
1）当时，，
二次函数的对称轴为，
所以，随的增大而减小。
2）当时，，
二次函数的对称轴为，
所以，随的增大而增大。
综上，可能的序号是.
当对称轴位置可变（动轴）或者自变量取值范围不确定（动区间，取值范围可变）时，需根据对称轴位置和自变量取值范围对函数的增减性、最大值、最小值等进行分类讨论。常规方法是，根据自变量取值范围与对称轴的位置关系，分对称轴在自变量取值范围的左侧、右侧和在取值范围内三种情况对二次函数进行讨论。
