法一：
法二：
法三
法四
法五
法六：
法七
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四季读书网
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广州中考数学一模第16题的深度挖掘
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广州中考数学一模第16题的深度挖掘这道题因为是填空压轴题，在考试中可以把动点P多画几个出来，猜到P的轨迹后秒掉。 但这道题考核的很全面，如果只满足于得到答案，就暴殄天物了： 将军饮马+隐圆+手拉手+中位线+圆上一点到直线的最小距离+勾股定理+中垂线+建系+中点距离公式+质心的运动速度+斜坐标系+旋心+四点共圆 。。。，不同的选择会带来丰富多彩的方法，不啻是一道经典的母题模型。 看中点想中位线 过F做FL⊥AB, 过P做PH⊥AB，易得图中两条红色线段等长，由中位线， EH=LH，则得H为AB中点，且PH⊥AB，即P的轨迹为AB的中垂线 看到中点就会联想1️⃣倍长中心 2️⃣中位线，那就朝这个方向试探一下，倍长AP至A' 接下去有不同的做法 在三角形BFA'中，可以解出来∠A'为直角，倒角可以得到∠1+∠3=90°，即ABA'为直角三角形，P为斜边上的中点，则直角三角形内斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得AP=A'P 也可以证图中两个三角形全等(SAS) 建系（平面直角坐标系） 根据坐标系中的中点公式，得到P的坐标，此时消去参数t，就可以得到P点轨迹方程，发现是AB的中垂线。 建系（斜坐标系） 坐标系不一定是直角坐标系，还可以是斜坐标系，只要满足平行四边形法则即可 同样根据中点坐标公式得到P点坐标 消去参数t,得到直线方程 y=3/2-x/2 画出该直线,发现是AB中垂线 旋心+手拉手+四点共圆 联想一：E点向左下方运动，F点水平向右运动，E和F似乎绕着一个点（在E和F的右上方某个位置）在旋转。 联想二：向量AE和向量BF长度比为1:2，因为向量可以平移，平移后发现E,F固定和一个点成120°夹角。 综合以上联想， E,F固定绕着某点O旋转，OE和OF的夹角固定为120度。（叉开的角度）OF=2OE. 我们现在来找到这个固定的“旋心” O 1：当E点还未出发的时候在A点，此时F点也没有出发，F在B点，那么这个旋转的点O在以AB为弦的，所对着圆周角为120度的圆弧上，我们先画出第一个紫色的圆 2：当E点出发后到任一时刻，此时以EF为弦，所对圆周角为120°画圆，O点在这个蓝色的圆上 3：所以O为紫色圆和蓝色圆的交点，我们顺利地找到了点O 我们把对应的三角形涂色看的更清楚 此时两个三角形根据我们的推理是相似的。 当然也可以用数学证明一下。由EBFO四点共圆可证得：三角形AEO 相似 三角形BFO（AA）.由手拉手的一转成双，可得三角形EOF相似三角形AOB. 两个三角形相似,则它们对应的内部三角形也相似，各自取长边的中点P和H，所以三角形EOP相似于三角形AOH，由相似可知EHPO四点共圆。 由于三角形EOF的形状固定，两边之比为1:2，夹角120°，所以∠EOP也是固定的，通过计算可知为直角，则∠PHE固定为直角。即动点P固定在AB的中垂线上运动。则AP可以用BP代替，AP+BP=折线APD，最小值显然为角平分线BD。 拓展，如果P点不是EF的中点，譬如是三分之一点，则根据上面的判断，P对应的H点（也是三分之一点）也是固定的，∠AHP也是固定的（∠EOP的补角），即也可以求出P点的轨迹为PH的连线 用物理的方法 E和F均为运动的质点，它们连线的中点的速度等于他们两个速度矢量和的一半 对速度进行正交分解，取AB中点H，建系，可以发现E,F的中点的纵坐标（沿AB方向）始终不变，为0，横坐标是F点的X方向的分量的一半，即EF中点P的轨迹在坐标系的X轴上。即P点轨迹为AB的中垂线。 如有培优需求联系教务老师，地点：汉溪长隆地铁G出口附近
