2026年中考数学常考考点专题之二次函数

2026年中考数学常考考点专题之二次函数

一．选择题（共12小题）

1．（2025•湖北模拟）已知二次函数y＝mx²﹣2mx+n（m≠0）有最小值，点A（x₁，y₁）是该函数对称轴左侧图象上的点，点B（x₂，y₂）是对称轴右侧图象上的点，若x₁+x₂＜2，则下列关于y₁与y₂大小关系表述正确的是（　　）

A．y₁＞y₂

B．y₁＜y₂

C．y₁≥y₂

D．y₁≤y₂

2．（2025•淅川县二模）二次函数y＝ax²+bx的图象如图所示，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．（2025•汕头模拟）如图，抛物线y＝x²﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　）

A．（2，1）

B．（2,2/3)C．(2,1/3)D．(1,1/3)

4．（2025•莱西市校级模拟）如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，则过点M(ab/c,b-2a)和N（c﹣a，4ac﹣b²）的直线一定不经过（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t²+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　）

A．3

B．2

C．0

D．1

6．（2025•东营区校级一模）二次函数y＝ax²+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（　　）

A．若（﹣2，y₁），（5，y₂）是图象上的两点，则y₁＞y₂

B．3a+c＝0

C．方程ax²+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根

D．当x≥0时，y随x的增大而减小

7．（2025•阳新县模拟）抛物线y＝ax²+bx+c的顶点为（﹣1，2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论：①a＞0；②c＜0；③a﹣b+c＝2；④b²﹣4ac＞0；⑤2a﹣b＝0；⑥4a（c﹣2）＝b²，其中正确的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

8．（2025•和平区校级模拟）已知抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（0，1），与x轴的两个交点之间的距离大于4，有下列结论：

①a+b+c＞0；

②若抛物线经过点（﹣1，2），则其解析式为y＝﹣x²﹣2x+1；

③一元二次方程ax²+bx+c+2＝0没有实数根；

④-1/3<a<0．

其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax²+bx的图象可能是（　　）

10．（2025•泗洪县一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax²+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）

11．（2025•城关区校级模拟）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数y＝ax²﹣4x+1的图象，那么无论x为何值，函数值y恒为正的条件是（　　）

A．a＞0B．a＜0C．a＞4D．0＜a＜4

12．（2025•中卫校级二模）若抛物线y＝mx²+2x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1D．m＞﹣1且m≠0

二．填空题（共8小题）

13．（2025•浙江模拟）用“描点法”画二次函数y＝ax²+bx+c的图象时，列表如下：

根据表格信息可知，当x＝5时，函数值y＝．

14．（2025•铁西区二模）关于x的二次函数y＝x²﹣2mx+m²+m﹣4（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．

15．（2025•青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y₁＝mx+n与抛物线y_2=ax^2+bx-3相交于点A，B．结合图像，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y₁＞y₂；②x＝3是方程ax²+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t₁），（4，t₂）是抛物线上的两点，则t₁＜t₂；④对于抛物线y_{2=ax^2+bx-3，当﹣}2＜x＜3时，y₂的取值范围是0＜y₂＜5．其中正确的结论是 ．

16．（2025•陆丰市一模）如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离OB为m．

17．（2025•嘉峪关校级二模）如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax²+bx+c＞kx+m的解集是．

18．（2025•宿城区一模）已知P（x₁，0），Q（x₂，0）两点都在抛物线y＝x²﹣4x+1上，那么x₁+x₂＝．

19．（2025•兴隆台区模拟）如图，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为．

20．（2025•潍坊二模）如图，二次函数y＝ax²﹣7ax+6a（a＞0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，⊙P（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且AB的弦心距为，则a的值为．

三．解答题（共5小题）

21．（2025•珠海校级一模）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0＜α＜90）后，得到△AEF，B，E，F三点共线，连接BE，CF．

（1）求证：CF⊥BC；

（2）在（1）的条件下，如图2，以点C为坐标原点，以BC所在直线为x轴，以CF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知AF=4根号三，求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，将（2）中所求抛物线沿x轴正方向平移h（h＞0）个单位长度后，与△ABF的三条边一共有两个不同的交点，请直接写出h的取值范围．

22．（2025•苍梧县一模）许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．设点A、C，的坐标分别是（6，2），（0，4）．

（1）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；

（2）如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，求E，F两点之间的距离；

（3）如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₁，将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₂．若S₁＝2S₂，求m的值．

23．（2025•琼中县一模）如图，抛物线y＝ax²+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点，

①当P为抛物线的顶点时，求证：△PBC直角三角形；

②求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；

24．（2025•浦东新区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线L₁：y＝ax²﹣2ax+a﹣4（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线L₂与抛物线L₁关于y轴对称，抛物线L₂与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）．

（1）用配方法求抛物线L₁：y＝ax²﹣2ax+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；

（2）求线段AM的长；

（3）如果BN＝AN，平移抛物线L₁：y＝ax²﹣2ax+a﹣4（a＞0），使所得新抛物线的顶点E在其关于y轴对称对称抛物线L₂的对称轴上，当AEAB时，求平移后新抛物线的表达式．

25．（2025•丽江模拟）已知抛物线y＝ax²+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．

（2）如图，P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点E，当PE的长度最大时，求点P的坐标．