天津工业大学 2023-2024 期中试卷《高等数学》下
一、选择题(每空 3 分,共 24 分)
1、 .
A.
B.
C.
D.
2、 函数 在 点沿向量 的方向导数为 ( ).
A.
B.
C.
D.
3、 函数 ,则 .
A.
B.
C.
D.
4、 已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ,则 点的坐标是 ( )
A.
B.
C.
D.
5、 交换二次积分 .
A.
B.
C.
D.
6、 设 是平面 上以 、 和 为顶点的三角形区域, 是 在第一象限的部分,则 等于 ( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
7、 设有空间区域 及 , 则正确的是 ( )
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D) .
8、 设平面曲线 为下半圆周 , 则曲线积分 ;
A. ;
B. ;
C. ;
D.
二、计算下列各题：(每小题 8 分，共 16 分)
9、 设 , 其中 具有连续的二阶偏导数, 求 .
10、 假设函数 由方程组 所确定, 求 .
三、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
11、 设 是由曲线 与直线 及 轴围成的封闭区域，求 。
12、 计算 ，其中 。
四、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
13、 计算三重积分 ，其中 是由曲面 与 所围成区域
14、 已知空间区域，
(1). 分别用直角坐标(先，次，后)，柱面坐标，球面坐标表示三重积分；
(2). 选取一种坐标计算积分.
五、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
15. 计算曲线积分 ，其中 是圆周 ， 轴， 轴在第一象限所围区域的边界。
16. 设曲线积分 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 ，计算
27考研数学（数学一、数学二、数学三）
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参考解答
一、选择题(每空 3 分,共 24 分)
1、 .
A.
B.
C.
D.
2、 函数 在 点沿向量 的方向导数为 ( D ).
A.
B.
C.
D.
3、 函数 ,则 .
A.
B.
C.
D.
4、 已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 ,则 点的坐标是 ( C )
A.
B.
C.
D.
5、 交换二次积分 .
A.
B.
C.
D.
6、 设 是平面 上以 、 和 为顶点的三角形区域, 是 在第一象限的部分,则 等于 ( A ).
(A)
(B)
(C)
(D)
7、 设有空间区域 及 , 则正确的是 ( A )
(A) ;
(B) ;
(C) ;
(D) .
8、 设平面曲线 为下半圆周 , 则曲线积分 ;
A. ;
B. ;
C. ;
D.
二、计算下列各题：(每小题 8 分，共 16 分)
9、 设 , 其中 具有连续的二阶偏导数, 求 .
解: 令 ,
由复合函数求导法则
.
10、 假设函数 由方程组 所确定, 求 .
解: 方程组两边对 求导得
,
即
解方程组得 .
三、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
11、 设 是由曲线 与直线 及 轴围成的封闭区域，求 。
解：
12、 计算 ，其中 。
解：
四、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
13、 计算三重积分 ，其中 是由曲面 与 所围成区域
解：先利用对称性， 关于 平面对称， 对 为奇函数，所以
解一：利用柱面坐标计算 ，
令 ，得知空间区域 在 平面上的投影可表示为
，且 ，
于是三重积分可表示为
解二：利用球面坐标计算，是由球心在原点，半径为1的上半球与顶点在原点，半顶角为的上半圆锥围成的区域，
可表示为：，则
14、 已知空间区域，
(1). 分别用直角坐标(先，次，后)，柱面坐标，球面坐标表示三重积分；
(2). 选取一种坐标计算积分.
解：
(1) 立体在面上的投影区域为
直角：
柱面：
球面：
(2) 关于平面对称，是关于的奇函数，故
由球面坐标
五、计算下列各题：（每小题 8 分，共 16 分）
15. 计算曲线积分 ，其中 是圆周 ， 轴， 轴在第一象限所围区域的边界。
解： ;
;
16. 设曲线积分 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 ，计算
解：设 ，因为曲线积分与路径无关，所以
所以，，考虑到 ，所以 。从 到 ，取特殊路径 ，
对于线段 ，线段
