中考数学提分必刷:初三几何证明题精选15道(名校学霸都在刷)

第1题【中考高频考点·5分必拿】

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点。求证：AD⊥BC。

第2题

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高。求证：AD²=BD·DC。

第3题

如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：BE=CD。

第4题

如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线。求证：CD=½AB。

第5题

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。

第6题

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，DE∥AC交AB于E。求证：AE=ED。

第7题

如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。求证：△DEF是等边三角形。

第8题【压轴题预备·拉开差距的关键】

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点。求证：AD=½AB。

第9题【易错陷阱题·80%学生在此失分】

如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB于D。求证：CD²=AD·DB。

第10题

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。求证：PA=PB。

第11题

如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C。求证：AC=CB。

第12题

如图，四边形ABCD内接于⊙O。求证：∠A+∠C=180°。

第13题

如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，延长AC到D，使CD=AC。求证：BD是⊙O的切线。

第14题

如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是割线。求证：PA²=PB·PC。

第15题

如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD。求证：弧AB=弧CD。

第1题答案

证明：
∵ AB=AC，D是BC的中点
∴ BD=DC
在△ABD和△ACD中
AB=AC（已知）
BD=DC（已证）
AD=AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ADB=∠ADC
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴ AD⊥BC

第2题答案

证明：
∵ ∠BAC=90°，AD⊥BC
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△CAD中
∠ADB=∠CDA=90°
∠BAD=∠ACD（同角的余角相等）
∴ △ABD∽△CAD（AA）
∴ AD/CD=BD/AD
∴ AD²=BD·DC

第3题答案

证明：
在△ABE和△ACD中
AB=AC（已知）
∠A=∠A（公共角）
AE=AD（已知）
∴ △ABE≌△ACD（SAS）
∴ BE=CD

第4题答案

证明：
延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE
∵ CD是AB的中线
∴ AD=DB
在△ADC和△BDE中
AD=DB
∠ADC=∠BDE（对顶角）
CD=DE
∴ △ADC≌△BDE（SAS）
∴ AC=BE，∠ACD=∠BED
∴ AC∥BE
同理可证BC∥AE
∴ 四边形ACBE是平行四边形
又∵ ∠C=90°
∴ 四边形ACBE是矩形
∴ CE=AB
∵ CD=½CE
∴ CD=½AB

第5题答案

证明：
连接AD
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠BED=∠CFD=90°
在△BDE和△CDF中
∠BED=∠CFD
∠B=∠C
BD=CD（若D是中点；否则用面积法）
实际上更简单的方法：
∵ S△ABD=½AB·DE，S△ACD=½AC·DF
又∵ AB=AC，且D在BC上
∴ S△ABD=S△ACD（等高）
∴ DE=DF

第6题答案

证明：
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠BAD=∠CAD
∵ DE∥AC
∴ ∠EDA=∠CAD（内错角）
∴ ∠BAD=∠EDA
∴ AE=ED（等角对等边）

第7题答案

证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点
∴ DE∥AC，DE=½AC
EF∥AB，EF=½AB
DF∥BC，DF=½BC
∵ △ABC是等边三角形
∴ AB=BC=AC
∴ DE=EF=DF
∴ △DEF是等边三角形

第8题答案

证明：
∵ AB=AC，∠BAC=120°
∴ ∠B=∠C=30°
∵ D是BC的中点
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
在Rt△ABD中
∠B=30°
∴ AD=½AB（30°角所对的直角边等于斜边的一半）

第9题答案

证明：
连接AC、BC
∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABC中，CD⊥AB
由射影定理得：CD²=AD·DB

或用相似：
在△ACD和△CBD中
∠ADC=∠CDB=90°
∠ACD=∠CBD（同弧所对的圆周角）
∴ △ACD∽△CBD
∴ CD/BD=AD/CD
∴ CD²=AD·DB

第10题答案

证明：
连接OA、OB、OP
∵ PA、PB是切线
∴ OA⊥PA，OB⊥PB
∴ ∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△OAP和Rt△OBP中
OA=OB（半径）
OP=OP（公共边）
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）
∴ PA=PB

第11题答案

证明：
连接OA、OB
在△OAC和△OBC中
OA=OB（半径）
OC=OC（公共边）
∠OCA=∠OCB=90°
∴ Rt△OAC≌Rt△OBC（HL）
∴ AC=CB

第12题答案

证明：
连接BD
∠A所对的弧是弧BCD
∠C所对的弧是弧BAD
弧BCD+弧BAD=整个圆周=360°
∴ ∠A+∠C=½×360°=180°
（圆周角等于所对弧的一半）

第13题答案

证明：
连接BC
∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°
∵ CD=AC
∴ C是AD的中点
在△ABD中，BC是中线且BC⊥AD
∴ △ABD是等腰三角形，AB=BD
连接OD
在△OAB和△ODB中
OA=OD（半径）
OB=OB（公共边）
AB=DB（已证）
∴ △OAB≌△ODB（SSS）
∴ ∠ODB=∠OAB
∵ ∠OAB+∠OBA=90°
∴ ∠ODB+∠OBD=90°
∴ ∠OBD=90°
∴ BD是切线

第14题答案

证明：
连接AB、AC
在△PAB和△PCA中
∠P=∠P（公共角）
∠PAB=∠PCA（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）
∴ △PAB∽△PCA（AA）
∴ PA/PC=PB/PA
∴ PA²=PB·PC

第15题答案

证明：
连接OA、OB、OC、OD
在△OAB和△OCD中
OA=OC（半径）
OB=OD（半径）
AB=CD（已知）
∴ △OAB≌△OCD（SSS）
∴ ∠AOB=∠COD
∴ 弧AB=弧CD（圆心角相等，所对的弧相等）