第十七届全国大学生数学竞赛决赛

（非数学专业A类）

一、（本题30分，每小题6分）

(1) 函数  有 ______ 个第二类间断点（填阿拉伯数字）。

(2) 极限  ______________。

(3) 设函数  由方程  确定，则  ______________。

(4) 设  为平面曲线  ()，方向为  增加的方向。曲线积分  ______________。

(5) 积分  ______________。

二、（本题10分）

设函数 。(1) 求  的最小值；(2) 求曲线  在点  处的法线方程。

三、（本题12分）

设  为  上恒正的连续函数， 为有限实数，且 ，。证明：微分方程

的任一正解  满足 。

四、（本题10分）

求曲面积分 ，其中  是柱面  夹在两平面  之间的部分，方向取外侧。

五、（本题14分）

已知曲面 :  所围成的区域被曲面 :  分成上下两部分，计算上下两部分区域的体积之比。

六、（本题12分）

考虑在   上定义的无穷次可导函数  ，  表示   的   阶导数，约定  ，若存在实数   使得：(i)  ;(ii) 当   时，  在   上无零点;(iii)   在   上无零点，则称   的零点指标为  。若   本身无正零点，则称其零点指标为 0。

(1) 给定实数  。证明：若  ，则对于任意的不全为零的实数  ，函数   的零点指标不超过 1;

(2) 给定实数  。证明：若   且  ，则对于任意的不全为零的实数  ，函数   的零点指标不超过 2。

七、（本题12分）

设 ，数列  由如下递推式定义

其中 ， 收敛。

(1) 证明： 收敛；

(2) 求 。