中考一模数学卷(文末下载)

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一、单选题

1．下列美术字中，是中心对称图形的是（　　）

A．MB．AC．TD．H

2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）

A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上

B．投掷飞镖一次，命中靶心

C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球

D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”

3．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（　　）

A．70°B．60°C．50°D．40°

4．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　）

A．﹣2B．1C．2D．3

5．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）

A．9πB．6πC．3πD．2π

6．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）

A．4.5B．8C．12D．13.5

7．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（　　）

A．AC∥A'C'

B．S_{△A'B′C′}：S_△ABC＝9：25

C．△BCO～△B'C'O

D．OB′：BB′＝5：3

8．若关于x的一元二次方程x²﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）

A．﹣1B．1C．2D．3

9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）

A．16（1+x）²＝23B．23（1﹣x）²＝16

C．16（1+2x）²＝23D．23（1﹣2x）²＝16

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．将△ABC绕点C旋转至△A'CB'，使CB'⊥AB，A'B'交边AC于点D，则CD的长是（　　）

A．4B．C．5D．6

11．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）

A．4.8cmB．5cmC．5.2cmD．6cm

12．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①b²＜4ac，②abc＞0，③3a+c＞0，④4a+2b+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（　　）

A．①②④B．②④⑤

C．①④⑤D．②③⑤

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，点B与点A（﹣3，3）关于原点对称，则点B的坐标是 ．

14．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，PB＝2.1米，PD＝12米，那么该古墙的高度是 米．

15．如图所示，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S_△AOB＝6，则k的值为 ．

16．如图，在△ABC中，BC＝AC＝10，AB＝16，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝ ．

三、解答题

17．已知二次函数y＝x²﹣2x．

（1）求当函数值y＝0时，自变量x的值；

（2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值．

18．如图，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）与双曲线（m为常数且m≠0）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请直接写出关于x的不等式的解集．

（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．

19．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．

（1）转出的数字为3的概率是 ．

（2）转出的数字不大于3的概率是 ．

（3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？

20．某店销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元/kg出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg．

（1）若单价降低2元，则每天的销售量是 千克，若单价降低x元，则每天的销售量是 千克；（用含x的代数式表示）

（2）若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？

（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？

21．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若BD＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

22．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．

【探究一】确定心形叶片的形状

（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax²﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

【探究二】研究心形叶片的宽度：

（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y＝x+1与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C₁是叶片上的一对对称点，CC₁交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC₁；

【探究三】探究幼苗叶片的长度

（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝ax²﹣4ax﹣4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．

23．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．

（1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；

（2）基础训练：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝2，AB＝4，求DE的长；

（3）拓展升华：如图4，△ABC中，AB＝12，AC＝8，∠BAD＝∠CAD，AD的中垂线EF交BC延长线于点F，当BD＝3时，求AF的长．

   答案

二、填空题

13．（3，﹣3）．

14．8．

15．12．

16．．

三、解答题

17．解：（1）当y＝0时，x²﹣2x＝0，

x（x﹣2）＝0，

x＝0或x﹣2＝0，

x₁＝0，x₂＝2；

∴当函数值y＝0时，自变量x的值为0或2；

（2）因为a＝1＞0，开口向上，所以函数有最小值．

y＝x²﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）²﹣1，

此函数最小值为﹣1．

18．解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式

∴

∴m＝﹣2．

∴双曲线为．

（2）关于x的不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．

（3）∵A（2，a）在双曲线为

∴a＝﹣1，

∴A（2，﹣1），

将A（2，﹣1），B（﹣1，2）代入y＝kx+b，

得：

解得：

∴y＝﹣x+1，

设y＝﹣x+1与y轴交于点C，则C坐标（0，1），

答：△AOB的面积为．

19．解：（1）∵一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同，

∴转出的数字为3的概率是

故答案为：；

（2）∵一共有5个数字，数字不大于3 的有3个，

∴转出的数字不大于3 的概率是

故答案为：；

（3）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下：

∵一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同，

∴任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为

∴

∴乙获胜的概率大，

∴这样的游戏规则对甲、乙两人不公平．

20．解：（1）若单价降低2元，则每天的销售量是100+2×10＝120（千克），

若单价降低x元，则每天的销售量是（100+10x）千克；

故答案为：120，（100+10x）；

（2）设单价应降价y元，则：

（60﹣y﹣40）（100+10y）＝2160，

∴y²﹣10y+16＝0，

∴y₁＝2，y₂＝8，

答：单价应降价2元或8元；

（3）设利润为w元，单价降低m元，

w＝（60﹣m﹣40）（100+10m）

＝﹣10m²+100m+2000

＝﹣10（m﹣5）²+2250，

∵a＝﹣10＜0，

∴w有最大值，

当m＝5时，w的最大值是2250，

答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．

21．（1）证明：如图，连接OD，AC，

∵是半径，

∴OD⊥AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

∴OD∥BC，

∵过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，

∴DE⊥OD，

∵OD是半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由题意知，AB＝10，

由勾股定理得，；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°＝∠DEB；

∵

∴∠ABD＝∠DBE，

∴△ABD∽△DBE，

∴

∴

解得，；

∴DE的长为．

22．解：（1）心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝ax²﹣4ax﹣4a+1图象的一部分，且图象过原点，将（0，0）代入得：

﹣4a+1＝0．

解得：．

∴抛物线的解析式为

∴顶点D的坐标为（2，﹣1）；

（2）∵抛物线与x轴交于另一点C，点C，C₁是叶片上的一对对称点，

当y＝0时得：

解得：x₁＝0，x₂＝4，

∴点C的坐标为（4，0），

∴设CC₁的解析式为y＝﹣x+b．将点C的坐标代入得：

﹣4+b＝0．

解得：b＝4．

∴CC₁的解析式为y＝﹣x+4．

联立得：

解得：

∴点G的坐标为

∴

∴；

（3）作PF⊥抛物线的对称轴于点F，则∠PFD＝90°，

∵直线PD与水平线的夹角为45°，

∴PF＝FD．

设点P的横坐标为x，

∵抛物线的对称轴为直线x＝2，

∴PF＝FD＝2﹣x．

∵顶点D的坐标为（2，﹣1），

∴点P的纵坐标为﹣1+2﹣x＝1﹣x．

∵点P在抛物线上，

∴

解得：x＝±2，

∴点P的坐标为（﹣2，3），

∴．

23．（1）证明：∵CE∥AB，

∴∠E＝∠DAB，∠B＝∠DCE，

∴△ABD∽△ECD，

∴

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAC＝∠DAB，

∴∠DAC＝∠E，

∴CE＝AC，

∴；

（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，

∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，

由（1）可知：

又∵AC＝2，AB＝4，

∴

∴BD＝2CD，

∵∠BAC＝90°，

在直角三角形ABC中，由勾股定理得：

∴

∴

∴

∴；

（3）解：∵∠BAD＝∠DAC，即AD是∠BAC的角平分线，

∴由（1）可得：

∵AB＝12，AC＝8，BD＝3，

∴

∴CD＝2，

∵AD的中垂线EF交BC延长线于F，

∴AF＝DF，

∴∠FAD＝∠FDA，

∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，

∴∠B＝∠FAC，

∵∠AFB＝∠CFA，

∴△FBA∽△FAC，

∴

又∵CF＝DF﹣CD＝AF﹣2，

∴

∴AF＝6．

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