试卷难度归档#5 - 2026厦门二模
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本卷来源于2026年厦门二模，之所以做这个是因为恰好这是郑外的数学周末练习题，写完了之后就顺便品鉴一下。
1~3 0 终于看到难度正常的题目了，感动。硬说的话其实还是有点难，但是+1以下一般被我约成0算。4 +1 这题需要一些画图和计算了，放在这里倒还好。5 0 其实不太清楚这道题没有辅助角公式该怎么做，因为这个东西属于一个“注意到”，其实是有猜的性质。不用辅助角公式，大概会用导数分析增减性，证明此处取得最值吧。当然，辅助角公式是可以现推的，也没什么问题。7 +1.6 组卷网给的解答是建系做，不过我觉得一般考生不太能想到建系（我也想不到），用几何法当然也能做，但是麻烦很多。设可得，要求（余弦定理得到的）， 因此，使用“反三角换元”（即令，则可得 ，令关于的方程有即可，解得
8 0 这也是一个优秀的题目！如果是原创，则这道题目对于新高考有指导意义。当然，还是略微有点套路，但这点瑕疵还能接受。考生需要画图，分析“外接球”以及“外接圆”在这里到底代表了什么，还要理解外接球的产生过程，以及整体法分析条件，转化条件。10 -0.5~0 一个比较有趣的几何画图题，画出图像发现是双曲线和圆的拼接，AB都好说，C是双曲线的渐近线，D当然也很好理解，大家这种题也做过不少了，就是找x+y=1的平行线和曲线的交点，比对一下不难。11 -1~0 二进制，怎么又是你？我看到了本题的表述是较为不同的集合式表述，命题者应该是自己想的，可惜我们似乎都已经做过不少这种题目了。本题考的还是排列组合，C需要一点计算量和观察，D需要构造出一个等比数列求和，但都是十分基础，不太进阶的。这种题目还是不太适合拿来当11题，要么就更难一点，要么就简单一点去第10题，这比起2025全国二卷11可能还更简单一点。不过总比出点雷人恶心题好得多。12~13 0 经典圆锥和经典排列组合，这个排列组合的条件需要注意。14 -0.3 何意味？又不难又复杂，难道说刚好中和了？绝对值就有点头痛，含参更头痛，我不是那种擅长于大量分类讨论的人。答案要求绝对值函数和直线的交点，可算了吧，绝对值里面那坨东西最多有两个尖点（此处指导数不存在），一个顶点，还在坐标系里乱动，我的空间想象能力没这么强，更何况这直线也是动的，全是动的转化成交点问题是在假装解题吗...（1），因此可用 解决（解得，且由这种情况得
（2），此时 ，无解；或者，依然,
合并二者得到
15 15.4 经典题目了。不过（2）的放缩需要留两项，这是稍微不一样的点，大家都知道但是平时做题没太见过17 16.8 (2)(i)实际上引导的是一个几何法考虑，当然建系不是完全不能做，只要在PC上取一点F，然后EF向量与BD向量平行即可，然后(2)(ii)就比较公式了。这道题目的平行条件比较不平凡，如果很长时间没有接触过还是会蒙一下的（但后面就很平凡了）18 18.2(18.29) 这道题目和武汉二调18是类似的，哪里类似？(2)(ii)和武汉的(3)类似，当然(2)(i)的证明我就不多讲了，就是计算量极大的正推推反推推，最后待证的式子全部塞进去化简，这个我可以做到，大家应该也可以。我们把N的轨迹方程解出来之后，发现N的轨迹明显是抛物线啊！我不知道为什么答案（和武汉的答案）都在说带进去解一个恒成立问题，这一点也不美。实际上，|NM|+|NT|为定值对应的就是抛物线，因为|NM|本质上是N到y=1的距离，而到一个定直线和到一个定点距离之和为定值的图形，依然是一个抛物线（我们只需要将直线平移到定点另一侧就行了，相信我们在刚学抛物线的时候接触过这类题），所以这个题实际上就是在已有抛物线的情况下反推焦点（当然，根本用不着推），和|NM|无关，只要N的轨迹方程不变，向任意y=a做垂线都是一样的（当然，a>7/3时不行，那就跑到焦点那边去了）。不要代数解法，就要几何解法，我在(2)(i)用代数算的够多了。19 18.5~18.8 一道好题，但是(2)(3)之间毫无联系，有些难绷。我的（2）证法比较独特，是先找了一下红球期望和持有红球概率的关系，然后去找递推。这和答案意思差不多，但我觉得答案废话太多，这也要解释那也要解释，真到考场上答题卡也写不下，不知道怎么（给改卷老师）解释。设第号学生拿到红球的概率为（从上一个人那里/老师那里，实际上老师相当于0号，让过程首尾相接），则根据期望的算法得到，得到，所以最后一个学生持有红球的期望是
（3）是一个和（2）毫无关系的问题，只需要在前面注意到实际上淘汰的概率是恒定的，接下来的事情和这个背景就毫无关系了。我们发现，经过用全概率公式多次化简，最终我们需要计算一个形似组合数乘以i（i是求和中需要使用）的一个形式的式子，这是思维过程中唯一的卡点。需要处理
则注意到，当然这是一个老牌的组合数公式，课本上也有，但是混杂在一堆式子中难以被立刻注意到。
之后也是正常化简即可。
总结：这是个非常贴合新高考难度的卷子，虽然题目还是有些牢，但整体来说相当好。在B站上看某个吓人题博主（名号引用@Drifter_飘零的说法）恐吓说这张卷子做不到135就是欠打（当然他每次都说这种话），还是哑然失笑。数学啊，要的恐怕还是一点灵气，不是背题。有灵气，看完一道题的解法（无论是什么分段的学生），不仅限于模仿，而想想这个解法为什么这么解（哪怕是举出理由，单纯批评这个解法不好），就一定有进步的空间，如果大家都学会锐评，那就大家都进步。如果只想着背更多的范式和结论，那当然也可以提升成绩，但是在另外一个思维的转角，或许还会被偶然卡住，这个转角可以是模拟考，也可以是高考。我希望无论是用什么方法学数学的学生，付出都会和分数成正比，不过这显然不是事实（不是在大量样本统计下的事实）。但是我们或许可以期盼，高考这一次孤立的试验可以满足这个条件。全卷综合难度 TEHD [0]（-0.3~+0.3）
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