分式方程及其应用思维导图
解分式方程的技巧
技巧1：约分计算法
【小结】在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．
技巧2：整体通分法
【小结】整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．
技巧3：局部通分法
【小结】若用常规方法，方程两边同乘
去分母后的整式方程解很难求出来．注意方程左右两边分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分方法来解。
技巧4：换元通分法
技巧5：顺次相加法
【小结】此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
技巧6：整体代入法
技巧7：分离常数法
技巧8：换元法
【小结】用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即x的值
技巧9：局部换元法
【小结】注意方程结构，结合完全平方公式，用换元法去解方程。
技巧10：消元法
【小结】此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．
技巧11：裂项法
技巧12：利用因式分解裂项法
技巧13：倒数法
解分式方程的误区
误区1：忽视检验
误区2：检验方法不正确
误区3：忽视分子为零
误区4：考虑问题不全面
误区5：没有真正理解分式方程有“增根”的含义
误区6：去分母时漏乘不含分母的项
误区7：解分式方程错符号
【分式方程易错点】
分式方程的增根、无解，解的正负性问题
【引入】
当碰到含有参数的分式方程的增根、无解、解的正负性问题求解参数的值时，同学们在解决该类题的时候要不就是漏解，要不就是无从下手，各种问题层出不穷，对基本的增根、无解概念不熟悉。用于解决同学们碰到的这类问题，读完本文后希望同学们在考试中能精准解题。
【解分式方程的步骤】
如下图所示，此图非常重要，请同学们务必记牢，记牢此图后所有分式方程的解的问题全部解决。
【提问】：
①如果分式方程有增根，则走哪条路？
答：走验根路线。
②如果分式方程无解，则走哪条路？
答：两条路线都有可能，故作答时可能会有多个答案。
二、基本概念
1、分式方程的增根是指：分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但是该解使得分式方程的分母为0。
2、分式方程无解是指：分式方程化成整式方程后：
①整式方程无解；
②整式方程有解，但是该解刚好使得分式方程的分母为0，是增根，导致分式方程也无解。
3、分式方程解的正负性是指：按照解分式方程流程解出后，再根据解的正负性解不等式求参数的范围，但一定要注意分母为0时将参数的值排除掉。
4、整式方程无解的问题，请各位同学记住一个例子：
三、实际应用+典型例题分析
一、 已知分式方程有增根，求字母系数的值.
解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程;
（2）给方程确定增根；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值；
二、已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围.
由根的情况求字母的取值范围的基本思路：
（1）将原方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，利用根的判别式求出字母的值或取值范围，注意排除原方程有增根的字母的值；
三、 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围.
解答此类题目的基本思路：
（1）求出原方程的根；
（2）建立关于字母系数的不等式，求出其取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值.
反思总结
分式方程化为整式方程后：
1.若整式方程有解，同时满足分式方程，则这个解为分式方程的解；
2.若是整式方程的解，但不是分式方程的解，则这个解为分式方程的增根；
3.如果整式方程所有解都是分式方程的增根，则原分式方程无解；
4.分式方程化为整式方程后，整式方程无解，则原分式方程无解；
5.分式方程化为整式方程后，整式方程有无数个解，则原分式方程有无数个解，当然这无数个解中不能包含使得分母为 0 的解。
分式方程应用总结
01分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
解题注意的点 02 （1）解决实际问题的关键在于从题目中抽象出等量关系，如何从实际问题中抽象出等量关系即是考验同学们实力的时候.
（2）恰当设未知数，有时候可以使复杂问题简单化.比如根据题干情况，设两个未知数，也可以解决一个等式的方程，设两个未知数的目的就是方便理解题意，不影响解题.
（3）恰当地设未知数或“单位1”（工程问题），达到尽量少地出现分数或分式的目的，减少计算量.能出现加法，乘法和整数或整式，尽量不要出现减法，除法和分数或分式，正向思维往往比逆向思维思考的更快.
类型一：行程问题：路程=速度×时间
例题：某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达。已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
①列表分析：
快车
慢车
路程
60
60
速度
x+20
x
时间=路程÷速度
②找等量关系：慢车时间-快车时间=0.5h
③列式：
类型二：工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
例题：甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工。甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成。求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（ ）
①列表分析：
甲
乙
工作总量
120
120
工作效率
1.2x
x
工作时间=工作总量÷工作效率
②找等量关系：乙工作时间-甲工作时间=30分钟(注意单位统一）
③列式：
类型三：销售问题：总价=单价×数量
例题：某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍。求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
①列表分析：设购买B种型号文具的单价为x元
②找等量关系：A的数量=B的数量×1.5
类型四：航行问题
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？【分析】题目包括两个事件：顺水行驶和逆水行驶；每个事件具有的属性：路程、速度和时间.等量关系：顺流航行100 km所用时间与最大航速逆流航行60 km所用时间相等。用含有未知数的代数式分别表示出顺流行驶的时间和逆流行驶的时间。另外，根据顺水逆水问题的原理，顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度.
类型五：图形问题
李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
01分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．
（1）解决实际问题的关键在于从题目中抽象出等量关系，如何从实际问题中抽象出等量关系即是考验同学们实力的时候.
（2）恰当设未知数，有时候可以使复杂问题简单化.比如根据题干情况，设两个未知数，也可以解决一个等式的方程，设两个未知数的目的就是方便理解题意，不影响解题.
（3）恰当地设未知数或“单位1”（工程问题），达到尽量少地出现分数或分式的目的，减少计算量.能出现加法，乘法和整数或整式，尽量不要出现减法，除法和分数或分式，正向思维往往比逆向思维思考的更快.
类型一：行程问题：路程=速度×时间
例题：某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达。已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
①列表分析：
快车 | 慢车 | |
路程 | 60 | 60 |
速度 | x+20 | x |
时间=路程÷速度 | | |
②找等量关系：慢车时间-快车时间=0.5h
③列式：
类型二：工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
例题：甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工。甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成。求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（ ）
①列表分析：
甲 | 乙 | |
工作总量 | 120 | 120 |
工作效率 | 1.2x | x |
工作时间=工作总量÷工作效率 | | |
②找等量关系：乙工作时间-甲工作时间=30分钟(注意单位统一）
③列式：
类型三：销售问题：总价=单价×数量
例题：某商店要购进A、B两种型号的文具，通过市场调研得知：A种型号文具的单价比B种文具的单价多100元，且用22500元购买A种型号文具的数量是用10000元购买B种文具的数量的1.5倍。求A、B两种型号文具的单价分别为多少？
①列表分析：设购买B种型号文具的单价为x元
②找等量关系：A的数量=B的数量×1.5
类型四：航行问题
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？类型四：航行问题
【分析】题目包括两个事件：顺水行驶和逆水行驶；每个事件具有的属性：路程、速度和时间.等量关系：顺流航行100 km所用时间与最大航速逆流航行60 km所用时间相等。用含有未知数的代数式分别表示出顺流行驶的时间和逆流行驶的时间。另外，根据顺水逆水问题的原理，顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度.
类型五：图形问题
李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
类型六：方案问题
某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【分析】(1)设完成本项工程的工作总量为1,由题意可知
从而得出x=15. 即单独完成这项工程需要15个月.
(2)根据题目关键信息：该工程总费用不超过141万元、采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工可以列出关于a、b方程组，从而得出a、b的取值范围，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数，则b=9或b=12．从而得出a的取值.确定工程方案.
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【温馨提示】：做题的意义并不在于做题本身，而是在于强化对所学知识的理解和运用能力，务必将每道题弄懂吃透！
