题目来源: 第六届全国大学生数学竞赛决赛高年级组, 微分几何选做题.
设三维空间的曲面 满足:
(1) ;
(2) 对任意 , 其中 是原点.
证明: 曲面 在 的 Gauss 曲率 .
证明. 只需证明主曲率均大于等于, 进而只需证对任意的点方向, 曲率均大于等于.
设上的任一过的曲线参数化为, 其中, , 对应. 由于, , 且, 故点处与单位球面相切.
熟知球面上任一点沿任意方向的曲率均等于, 则在的任一方向, 和单位外法向量所得到的法截面中, 此时容易看出, 法截线完全包含于单位圆内.
下面我们来证明, 上点处的平面曲率的绝对值大于等于, 亦即对一条平面曲线和相切于点, 总有在处的平面曲率的绝对值大于等于.
只需注意到至Taylor展开二阶项系数即为平面曲率. 由条件, 对上一点, , 则由相切条件, 可设, 其中为曲率. 此时代入条件, 整理得
此即
故
这样我们就证明了对于任意的方向, 上法截线的曲率均大于等于, 特别地, 主曲率均大于等于, 进而Gauss曲率大于等于.
注1. 这应当是一个符合直觉的证明过程. 因为我们脑子里会有很明确的一个几何图形, 就是这个曲面应该在单位球面内部, 为了计算之考虑法截面是自然的.
注2. 如果题目能给出微分几何的光滑性假设条件, 那么会更为严谨一些. 但是对于学过微分几何的人来说, 光滑性假设实际上是前提, 这里我们对没有学过微分几何的人做出这个说明.
注3. 官方答案如下:
感觉我不一定能想到如此数分的做法.
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听歌时间.
黄河的水干了，妈妈哭了。
黄河的水干了，我心碎了
早知道黄河的水干了
修他妈的铁桥是做啥呢
早知道尕妹妹的心变了
谈他妈的个恋爱是做啥呢
早知道黄河的水干了
修他妈的铁桥是做啥呢
早知道尕妹妹的心变了
谈他妈的恋爱是做啥呢
做啥呢
做啥呢
做啥呢
做啥呢
哎呦喂，我回不去的家
爸爸妈妈老了
黄河的水啊，干掉了
流浪的人啊，回来了
黄河的水啊，干掉了
流浪的人啊，回来了
黄河的水干了，妈妈哭了。
黄河的水干了，我心碎了
我心碎了
—— 黄河谣 · 赵牧阳
