功与功率——定速巡航情境下的功率分析
🎯 当日核心考点
功率的理解与计算——物体做功的快慢用功率表示，分为平均功率（P = W/t）和瞬时功率（P = Fv cos θ）。在分析机车、汽车等交通工具的功率问题时，核心思路是：匀速运动时牵引力F与阻力f平衡，输出功率P = Fv = fv；结合能量守恒和牛顿第二定律综合求解。
真题来源：2021年北京高考·第1题（单选题）
正确答案：B
【高考真题原题】
📐 题目示意图
如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
- A. 在ab段汽车的输出功率逐渐减小
- B. 汽车在ab段的输出功率比bc段的大
- C. 在cd段汽车的输出功率逐渐减小
- D. 汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【分步详细解析】
第一步：理解物理情景
关键条件：汽车定速巡航，即汽车速率v保持不变。
路面分为三段：
- ab段：平直上坡路面
- bc段：平直水平路面
- cd段：平直下坡路面
受力分析：汽车运动过程中受到两个恒定阻力——空气阻力和摩擦阻力（题目已说明大小不变）。设总阻力（不含重力沿斜面的分力）大小为f₀。
第二步：分析各段汽车的牵引力
核心原理：汽车匀速行驶时，合力为零。因此牵引力F需要平衡所有阻碍汽车前进的力。
ab段（上坡）：汽车受重力沿斜面向下的分力 mg sin θ（上坡倾角为θ）
F_ab = f₀ + mg sin θ
上坡倾角θ恒定，故F_ab大小恒定。
bc段（水平）：汽车不受重力沿斜面的分力
F_bc = f₀
大小恒定。
cd段（下坡）：重力沿斜面向下的分力 mg sin θ 帮助汽车前进
F_cd = f₀ - mg sin θ
大小恒定，且F_cd < f₀ = F_bc。
⚡ 关键结论
三段牵引力大小关系：F_ab > F_bc > F_cd
第三步：分析输出功率
核心公式：汽车输出功率P = Fv，由于速率v恒定，功率与牵引力成正比。
- ab段：P_ab = F_ab · v，大小恒定，不逐渐减小 →A错误
- bc段：P_bc = f₀ · v
- cd段：P_cd = (f₀ - mg sin θ) · v，大小恒定，不逐渐减小 →C错误
比较功率大小：
P_ab > P_bc > P_cd
因此：
- B选项：ab段功率比bc段大 →正确 ✓
- D选项：cd段功率比bc段大 →错误（实际是cd段功率更小）
第四步：验证结论
代入具体数值帮助理解：
设f₀ = 500 N，mg sin θ = 200 N，v = 20 m/s，则：
| 路段 | 牵引力 F | 功率 P = Fv |
|---|---|---|
| ab段（上坡） | 700 N | 14,000 W |
| bc段（水平） | 500 N | 10,000 W |
| cd段（下坡） | 300 N | 6,000 W |
显然P_ab > P_bc > P_cd，且各段功率均恒定。
故本题正确选项为B。
最终答案
B
【核心开窍点】
"定速巡航时，输出功率与牵引力成正比"
上坡功率最大，下坡功率最小，水平居中，且各段功率均保持恒定。
💡 开窍点总结
核心规律："匀速行驶，功率与牵引力成正比"
不同路面类型下牵引力与功率对比
| 路面类型 | 牵引力 F | 输出功率 P = Fv |
|---|---|---|
| 上坡 | f₀ + mg sin θ | 最大，恒定 |
| 水平 | f₀ | 中等，恒定 |
| 下坡 | f₀ - mg sin θ | 最小，恒定 |
开窍一句话："定速巡航时，输出功率与牵引力成正比；上坡功率最大，下坡功率最小，水平居中，且各段功率均保持恒定。"
🚨 常见考点与易错警示
- 误以为功率逐渐变化：本题中汽车匀速行驶，牵引力恒定，因此输出功率恒定，不随位置逐渐减小或增大。
- 混淆牵引力与阻力：下坡时重力分力帮助前进，牵引力小于阻力，但不少同学误认为下坡时牵引力仍等于阻力。
- 忽略"速率不变"条件：定速巡航意味着速度大小不变，这是分析牵引力和功率的关键前提。
- 功率公式应用错误：瞬时功率公式P = Fv cos θ要求F与v同向。本题中汽车沿路面行驶，牵引力沿运动方向，可直接使用。
🔗 考法延伸
功与功率在高考中的常见考查方式：
| 题型 | 核心考点 | 典型特征 |
|---|---|---|
| 恒力做功 | W = Fx cos θ | 力的大小方向均不变 |
| 变力做功 | 微元法、平均力法、动能定理 | 力随位置或时间变化 |
| 瞬时功率 | P = Fv cos θ | 分析某一时刻的做功快慢 |
| 机车启动 | 两种启动方式（恒功率/恒加速度） | 涉及最大速度、加速时间 |
📝 解题模板
- 确定研究对象，分析受力情况
- 根据运动状态（匀速、加速）列平衡方程或牛顿第二定律
- 利用P = Fv计算功率，注意区分平均功率与瞬时功率
- 若涉及机车启动，注意分析牵引力随速度的变化规律
⚡ 机车启动的两种典型模式
模式一：恒功率启动
- 功率P恒定，速度v增大，牵引力F = P/v减小
- 当F = f（阻力）时，达到最大速度v_max = P/f
- 加速度逐渐减小，做加速度减小的加速运动
模式二：恒加速度启动
- 加速度a恒定，牵引力F恒定，速度v = at增大
- 功率P = Fv逐渐增大，达到额定功率后转为恒功率模式
- 先做匀加速运动，再做加速度减小的加速运动
"功率快慢看Fv，匀速行驶F恒定；上坡下坡水平路，牵引力大功率高。"
🎯 解题核心
定速巡航：牵引力平衡所有阻力，功率P = Fv与牵引力成正比
上坡功率最大，下坡功率最小，水平居中
