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1603期 偏移仍在！（回归高考真题系列03）
去年之前小派做过一段时间的回归高考真题系列内容，但是由于同学反馈不佳，可能是由于25高考刚过，距离26高考还很遥远的缘故吧。 但是现在距离今年高考只有两个月多点的时间，同学，你该做真题了（近五年高考真题以及分类汇编可以移步到小派之前的推文《同学，你该做真题了！（21-25五年高考真题分类汇编20讲）》文末获取）！因此小派想在该时间节点重启这一系列，带同学们一起回顾高考真题。不少同学可能存在这样的思想：觉得以前的高考题考过了就不会再考了，所以做不做真题意义不大！首先这种思想本身就是错的，比如25年全国Ⅰ卷第16题数列与导数结合的大题与2005年山东高考文理第21题高度相似！其次做往年高考题也有不少好处，比如往年的高考真题都是由权威命题专家精心打磨（包括题型、难度、知识点分布等），通过分析历年真题，我们能快速掌握高频考点，明确哪些知识点是必考、常考内容，避免在冷门知识点上浪费精力，实现有的放矢的复习！也就能精准把握命题规律方向等等好处吧…… 往期可以参见下方链接⬇️《1599期 逆天！“高抄”的全国Ⅰ卷导数高仿题（回归高考真题系列01）》《1600期 解析几何中隐藏的轨迹（回归高考真题系列02）》
随着2025年高考之后，极值点偏移这个老题型又复苏了起来，登上了不少模考卷压轴位置！一个很重要的原因就是其变了个马甲又出现在全国二卷之中了。2025年全国 Ⅱ 卷导数压轴第18题表面上并不是偏移问题，因为题中只涉及一个零点，但其实还是极值点偏移，只不过隐含一个零点 而已。另外，这题从题设构造上和极值点偏移起源问题——2010年天津卷导数一模一样，都是在第（2）问中给出了解决该题的构造方式！
一、新Ⅱ卷导数不言偏移的极值点偏移 1、个人解析 2、官方解析 二、直观感受何谓极值点偏移 三、极值点偏移处理技巧——对称构造起源 四、更多高考中极值点偏移对称构造应用 五、对称化构造函数如何选？ 六、对称化构造用的函数唯一吗？ 七、步骤②中限定（ 或 ）范围如何选择？ 1、最后再总结一下对称化构造的一般步骤 2、如何限定（ 或 ）范围？ 八、偏移仍在！ 1、命题方式在演化创新 2、附偏移系列18篇文章
一、新Ⅱ卷导数不言偏移的极值点偏移
【25年全国Ⅱ卷T18】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 ， .（1） 证明： 在 上存在唯一的极值点和唯一的零点；（2） 设 ， 分别为 在 上的极值点和零点.（i） 设函数 ，证明： 在 上单调递减；（ii） 比较 与 的大小，并证明你的结论.
1、个人解析
解析：
（1）
当 ， ， 单调递增； ， ， 单调递减
存在唯一 使得 ；
（2）（i） 由 （1） 知 ，
在区间 内单调递减
（ii） 由 （i） 知 在 单调递减，则
即
所以
因为 是 的零点，所以
所以
又因为 ，，且 在 上单调递减
故
注： 易看出 是 的一个零点的，这时若让证明 ，就比较容易看出这就是极值点偏移问题了吧！其实该题在题设构造上和2010年天津卷导数一模一样，都是在第（2）问中给出了解决该题的构造方式（参见下文）！
2、官方解析
该部分节选于每年都会出的高考试题分析，该书不仅会有高考题的官方解析、多种解题思路、试题亮点评析，甚至还会有命题背景，是老师把握未来模考甚至高考命题方向和学生掌握哪些解题方法与技巧的重要研究资料！推荐老师人手一本，学生也可以入手学习一下。声明： 该部分节选于此书全国Ⅱ卷18题的解析与思路，仅作宣传此书使用！如有涉及侵权，请联系我们进行删除处理。
二、直观感受何谓极值点偏移
小π就先用三张图带你直观认识极值点偏移吧：
如图 1，若 ，则 ，极值点不偏移 .
如图 2，若 ，则 ，极值点向右偏移 .
如图 3，若 ，则 ，极值点向左偏移 .
注： 极值点 向左向右偏移是参考中间值 而言的 .
三、极值点偏移处理技巧——对称构造起源
极值点偏移问题的一个基本处理技巧便是对称构造。说起对称构造还真要感谢2010年天津高考命题者，因为其不仅极具创造性地第一次命制了经久不衰的极值点偏移新题型，而且在题设中有意引导答题者进行对称构造解题，也就是说命题者既带来了新题型，也给出了该题型的一种解题技巧——对称构造。来一起看一看这道题，
【典例1】（2010天津T21）（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 （）（1） 求函数 的单调区间和极值；（2） 已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明：当 时，（3） 如果 且 ，证明:
解析：
（1）
所以 的单调递增区间为 上，单调递减区间为
故 有极大值 ，无极小值
（2）（关注：Hi数学派）由 的图像与 的图像关于直线 对称，得 的解析式为 ，构造辅助函数
求导得
当 时，，，则
所以 在 上单调递增，
所以 ，即
（3）（关注：Hi数学派）由 ，结合 的单调性可设
将 代入 （2） 中的不等式得
又 ，故
又 ，， 且 在 单调递增
所以 ，即
注： 回顾该题的三问解题过程，由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观图解如下
再次回顾该题解题过程，发现以下三个关键点：
的范围
不等式 ，
将 代入 2. 中不等式，再结合 的单调性即可得到结论 .
把握以上三个关键点，就可以应用对称化构造解决一些极值点偏移问题啦（并不是所有极值点问题都可以应用对称构造的）
四、更多高考中极值点偏移对称构造应用
再来看两道例题吧!
【典例2】（2016新课标1卷 T21）（关注：Hi数学派）已函数 有两个零点（1） 求 的取值范围；（2） 设 是 的两个零点，证明： .
解析：
（1），该小问涉及找点过程，详解可以参考小派之前的推文《三道高考题教你学会找点取点》
（2） 由 （1） 知 在 上递减，在 上增，
由 ，可设
构造辅助函数 ，求导得
当 时，， ，则
所以 在 上单增 ，又 ，
故 ，即 ，
将 代入上述不等式中 ，得
又 ， 且 在 上增，
所以 ，即
【典例3】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 的图象与直线 交于不同的两点 ， 求证：
证明：
则 在 上递减，在 上递增；
当 时，，
当 时，
当 时， ；当 时，
于是 的图像如下图5，得
构造函数
求导得
当 时，，， 则
所以 在 上递增，有
即
将 代入得
又 ，故
又 ，，且 在 上递增，
所以 ，即
注： 回顾一下，典例1和典例2是应用同样的方法，但是典例3却和前两道例题不太一样，因为前两道例题是证明 ，但是典例 3却是 ，因此用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：
求导，获得 的单调性，极值情况，作出 的图像，由 得 的取值范围数形结合)；
构造辅助函数（对结论为 ，构造 ；对结论为 ，构造 ），求导，限定范围（ 或 的范围），判定符号，获得不等式；
代入 或 ，利用 及 的单调性证明最终结论 .
五、对称化构造函数如何选？
这就是今天要介绍的对称化构造的补充内容——根据题目要证明的 或 中的 选取函数或是说根据题干所给的函数构造出极值点为 的函数。看看下面这道典例
【典例4】（关注微信公众号：Hi数学派）已知函数 有两个不同的零点 ，其极值点为 .（1） 求 的取值范围；（2） 求证：；（3） 求证：；（4） 求证： .
解析：
（1）
若 ，则 ， 在 上单增， 至多有 个零点，舍去；
故必有 ，易得 在 上单减，在 上单增，要使 有两个不同的零点，则有
注： 严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当 时，；当 时，.
（2）（关注微信公众号：Hi数学派）由所证结论知这是 的极值点偏移问题，选取函数 来做. 下面按对称化构造的三个步骤来写，其中 .
① 由 （1） 知 在 上单减，在 上单增，可设 $<x_{0}$ $
② 构造函数 ，则
当 时，有
则 在 上单增，得
即
③ 将 代入 ② 中不等式得
又 ，，且 在 上单增
故 ，
（3）（关注微信公众号：Hi数学派）由所证结论可以看出，这已不再是 的极值点偏移问题. 谁的极值点会是 呢？回到题设条件有
记函数 ，则有
求导得 ，则 是 的极小值点，故选取函数 来证 （3） 中结论 ，也可证 （4） 中结论
① 在 上单减，在 上单减，在 上单增； 另外， 的符号与 的符号相同
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
的图象如下
由 可设
② 构造函数 ，则
当 时，，但因式 的符号不容易看出，引进辅助函数
则
则 在 上单减，当 时,
即 ，则
即
所以 ，得 在 上单减，有
即 （）
③ 将 代入 ② 中不等式得
又 ，，且 在 上单增
故 ，
（4）① 同上；
② 构造函数 ，则
当 时，，但因式 的符号不容易看出，引进辅助函数
则
当 时，， 在 上单增，有
则 ，得 在 上单增，有
即
③ 将 代入 ② 中不等式得
又 ，，且 在 上单增
故 ， .
注1： 第 （2） 问按《极值点偏移起源与对称构造》介绍的对称化构造的一般步骤干就完事啦！第 （3）（4） 问，就需要找到极值点 的函数了，根据题干很容易就找到 了，然后就可以按对称化构造的一般步骤干啦！
六、对称化构造用的函数唯一吗？
不唯一！
上面选取函数 虽然可以证明第 （3）（4） 问的结论，但判定因式 及 的正负时，均需要构造辅助函数，比较麻烦！还没有找到理想的函数 . 下面用第 （3）（4） 问来说明
【典例5】 已知函数 有两个不同的零点 ，其极值点为 .（3） 求证：；（4） 求证： .
解析：
回到题设条件有
记函数 ，则有 . 下面选取函数 再证第 （3）（4） 问
（3）
①，得 在 上单减，在 上单增，有极小值
又当 时，；当 时， . 故 的图象如下
由 可设 .
② 构造函数 ，则
当 时，，
则 ，得 在 上单减，
则
即
③ 将 代入 ② 中不等式得 ，
又 ，，且 在 上单调递增
故 ，
（4）① 同上；
② 构造函数 ，则（关注微信公众号：Hi数学派）
当 时， ，得 在 上单增，
则
即
③ 将 代入 ② 中不等式得
又 ，，且 在 上单调递增
故 ， .
注1： 用函数 来解决第 （3）（4） 问，显然比上一方法中用 简单得多，所以在解决此类极值点问题时，一定要构造出合适的函数，以简化解题过程。怎样做到呢？小π也没什么好的方法，多见题，多积累，多总结，掌握常见函数图像吧！可以参考《884期 85个常见函数图像》
七、步骤②中限定（ 或 ）范围如何选择？
1、最后再总结一下对称化构造的一般步骤
① 求导，获得 的单调性，极值情况，作出 的图像，由 得 的取值范围数形结合；
② 构造辅助函数，求导，限定范围（ 或 的范围），判定符号，获得不等式；
（对结论为 ，构造 ；对结论为 ，构造 ）
③ 代入 或 ，利用 及 的单调性证明最终结论 .
2、如何限定（ 或 ）范围？
步骤②中限定（ 或 ）范围如何选择呢？
回顾上面的典例第 （3）（4） 问的解题步骤，在第 ② 步中总是给定 的范围！
这是因为 的范围 较 的范围 小.
以第 （3） 问为例，若给定 ，因为所构造的函数为 ，这里 ，且 ，得 ，则当 时，无意义，需要分为两类：（关注微信公众号：Hi数学派）
若 ，则 ，结论成立；
当 时，同原解答.
而给定 ，则不会遇到上述问题.
当然在第 （4） 问中给定 或 的范围均可，同学们可以自己体会其中的差别.
八、偏移仍在！
1、命题方式在演化创新
今年模考中的极值点偏移题型不仅在解法上出新，而且在形式上也在演化出新！比如
在解法上，江西创智协作体25年9月高三联合调研T19尽管是一道传统极值点偏移问题，但由于其要证明的是线性最佳的偏移不等式，很多方法都失效了（比值代换、对数均值不等式、单调性同构法等），标答给了一种老法新用的解法，令人眼前一亮！此外，单调性调整、隐函数法等也可以解决。 在形式上，深圳26届高三第一次模拟联测T19尽管也是一种老题型——拐点偏移两种出题形式种的一种，但奈何很多同学不知道是如何构造的；此外，针对25年新高考 Ⅱ 卷偏移换了个马甲命题，一种类似极值点偏移对称构造操作的双变量也比较热门了起来，例如湖南常德26届高三11月考T19
在未来模考甚至高考之中，小派觉得极值点偏移题型也将会在这两个方面演化创新，而且后者如果出了，会更新颖，毕竟极值点偏移已经是十五六岁的老题型了！
2、附偏移系列18篇文章
《01 极值点偏移起源与对称构造》《02 极值点偏移对称构造函数如何选？》《03 极值点偏移变“非常规”为“常规”》《04 极值点偏移差值代换、比值代换》《05 极值点偏移对数均值不等式》《06 极值点偏移的本质是？》《07 极值点偏移海伦均值不等式》《08 极值点偏移隐函数法》《09 极值点偏移增强函数法》《10 极值点偏移Hadamard不等式》《11 新Ⅱ卷导数，不言偏移的极值点偏移，其实和10年天津卷一样！》《12 单调性同构法解决极值点偏移》《13 极值点偏移高考都考过多次了，接下来该拐点偏移了吧》《14 拐点偏移解题策略及经典例题》《15 五年前线性最佳的偏移依旧难倒多数同学》《16 单调性调整法（在高考极值点偏移中的应用）回归高考真题系列9》《17 很新颖！类极值点偏移对称构造操作的双变量》《18 这偏移，很多同学竟不知道为何如此构造！》
