求函数  的极值

第一步：求驻点

首先计算一阶偏导数，并令其为零：

将两个方程相减，得：

于是有两种情况：

情况一：

代入第一个方程：

解得：

情况二：

代入第一个方程：

所有驻点为：

第二步：计算二阶偏导数

构造 Hessian 行列式（判别式）：

第三步：极值判定

1. 在点  处：

✅ 满足  且 ，故为极大值点。

计算极大值：

2. 在点  处：

⚠️ 判别式 ，无法用二阶导数判别法确定是否为极值。

进一步分析：考虑沿路径 ，则

而沿 ，有

当 ，；当 ，若  很小， 主导，仍为正。但严格来说，在  附近函数值可正可负（例如取 ，得 ；取 ，得 ），实际上不是极值点（是一个鞍点或平坦点）。

因此，唯一极值是极大值。

最终结论

函数  极大值为：， 在点  处取得。

无极小值。