数学 | 循真题探径 凝匠心命题——记一道解析几何试题的命制历程

写作指导

解析几何是高中数学的核心内容，亦是高考重点考查的板块。其融合了代数运算与几何直观，能有效考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。近年来高考试题多以椭圆为载体，将直线与椭圆的位置关系、几何性质探究有机结合，体现了“素养导向、多想少算”的命题原则。本文阐述以2024年全国甲卷第20题为蓝本，结合教学实践命制一道解析几何原创试题的过程与思考，以期为高中数学命题与教学提供参考。

命制意图

纵观近年高考解析几何解答题，不难发现有这样的命题规律：试题首先通过考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，检测学生对核心基础知识的掌握程度；进而通过设计涉及直线与圆锥曲线位置关系、面积最值、定点、定值、定直线等问题，以动态变化中隐藏的不变因素为靶点，深入考查学生的数学能力与核心素养。然而在解析几何教学中发现，学生常存在基础知识薄弱、概念理解不清晰、思维不深刻、运算不准确、几何关系代数化能力不足、“动中寻定”能力欠缺等问题。鉴于此，借区域调研联考之机，笔者命制了一道既契合高考核心考点，又能诊断学生思维薄弱点、训练核心素养、全面评估学生对解析几何核心知识的理解与应用水平的试题，旨在引导教学方向，助力突破教学重难点。

命制蓝本

解析几何中在变化中寻求不变量是较为常见的问题。无论是数值大小还是位置关系、几何特征的不变性，都体现了数学问题研究的本质之一，即从变化的现象中提炼不变的规律和本质。正如这道高考试题，以椭圆为几何载体，采用“椭圆与直线相交条件下的几何性质证明”这一常见模型为命题框架，在变化的直线AB下隐藏着三条直线BP，BN，BF的斜率之间的不变关系。

命制过程

此稿不足之处①条件设置冗余且复杂：引入多个辅助点Q（5，0）、点D、点E，叠加向量共线、直线平行等条件，导致题目背景过于烦琐。学生可能因难以梳理清晰条件而放弃解题，不符合高考命题“入口宽、梯度缓”的要求。②计算量过大：在求解△PBM面积最大值时，需联立直线方程与椭圆方程，计算过程复杂，计算量超出常规解析几何试题的负荷范围，难以有效体现试题区分度。③考查方向重叠：“面积最大值”的优化运算过程与“AM⊥x轴”的证明均需得出直线BE过定点这一结论，存在考查方向上的重复。

此稿较稿1改进之处①简化设问方向：将原设问“求△PBM的面积最大值”调整为“求证点D在定直线上”。此举将最值求解问题转化为定直线证明问题，显著降低了运算复杂度，同时延续了解析几何中“定点或定直线”的经典考点特征，更符合高考命题的常规题型。②突出逻辑推理：继续紧扣真题本质，但试题设计更聚焦于直线与椭圆位置关系的分析转化，考查学生对图形几何特征的挖掘以及点的轨迹推导等核心方法的掌握程度，逻辑链条的严谨性得到提升。

解答分析

此题的解法很多，限于文章的篇幅，本文只给出常规解法，不再展示其他解法。

考情反馈

通过考试测评，此题的命制获得了较高的评价，基于测评数据和学生答题情况可反馈以下问题。①基础题得分率较高。第（1）问中，大部分学生能够正确运用离心率公式及点在椭圆上的条件求解椭圆方程，得分率约为85%，表明学生对椭圆基本性质掌握情况良好。②中档题运算能力存在不足。第（2）问中，学生问题主要集中于三点：其一，在设定直线方程y=k（x—8）时，未讨论斜率不存在的情形（尽管本题中此情形下直线与椭圆无交点，但体现了思维严谨性的缺失）；其二，未采用合适的直线方程形式（如x=my+8），导致运算量过大，无法得出面积表达式；其三，运用基本不等式求最值时，未能对面积表达式进行必要的代数变形处理，该问得分率约为50%。③压轴题思维转化能力薄弱。第（3）问失分最为严重，得分率仅约10%。学生主要问题：其一，缺乏运用几何视角观察图形特征的意识，未能从几何图形特征中识别出直线BE恒过定点F（2，0）；其二，未能将“AM⊥x轴”的几何关系有效转化为斜率关系进行证明，而是直接联立直线BF方程和椭圆方程，试图通过“xA=xM”来进行证明，导致解题过程复杂且运算量巨大；其三，代数式化简与运算处理能力不足，多数学生解题过程半途而废。

上述考情反馈精准地定位了教考衔接点。因此，在圆锥曲线的教学中，需持续强化圆锥曲线定义、标准方程、简单几何性质等核心基础知识的掌握，加强基础训练，确保得到基础分值。针对中档题所反映出的运算能力问题，应使学生亲历知识的底层逻辑建构过程。例如，在课堂教学中，教师可引导学生分别设定直线BP的方程为y=k（x—8），x=my+8，再与椭圆方程联立求解，系统对比两种设定方式在运算复杂度与实用性上的差异。进而引导学生剖析不同形式直线方程的优势与局限，并设计相应跟踪练习，训练其根据题目条件优选直线方程的能力。通过此类教学活动，提升学生的运算求解能力，突破运算瓶颈。对于压轴题中表现出的思维转化薄弱问题，在课堂教学中首先要引导学生会用几何眼光观察问题，挖掘隐藏信息，培养“动中寻定”的意识和能力。领会不联立直线方程和椭圆方程的底层逻辑，强化几何直观与代数运算的融合，从而避免复杂的代数运算，培养其形成“算理先行、运算有据”的思维习惯，深化“几何直观定方向，代数方法解问题”的核心思想，真正做到教学活动主动适应基于核心素养的考查方式的要求。

命题感悟

高质量数学试题的命制，需认真研究历年高考真题，不仅要紧密围绕高考导向与教学实际情况、深入分析和挖掘历年真题的深层本质与命题规律、聚焦学科特征的同时突出核心素养的考查，还要着重关注学生的认知误区和思维障碍，通过考试测评分析学生答题情况，明确学生在学习中的薄弱环节，在后续教学中针对性地设计适当的“阶梯式”问题链，引导学生逐步纠正认知误区、突破思维障碍，助力教师的教学改进。

---

作者：贺旭，湖南省宁乡市教育研究中心。

来源：本文已刊发于2026年《教学考试》高考数学2。