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什么是费马点问题？
皮耶·德·费马(Pierre de Fermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为"费尔玛"(注意"玛"字)。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名"最后"的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
那么何为费马点呢？
答："费马点"是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。
值得一提的是这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
那么三角形的费马点有几种情况呢？
答：这个要分两种情况。
三个内角都小于120°
若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
那么如何来找到费马点呢？
首先我们来看第一种情况：当三角形的最大内角小于120°时。
证明1
首先任取一个顶点C,然后以C点为旋转中心，将△CDB 逆时针旋转60度到△CEF位置。
这样就通过旋转构造了全等三角形和一个等边三角形ECD。
易知DB=EF，DC=CE=DE,所以DA+DB+DC=DA+DE+EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。所以当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。
接下来我们再来看看情况二：当△ABC有一内角不小于120°时
证明2
在三角形ABC内任取一点D，然后绕C点逆时针旋转三角形BDC使得F,C,A三点共线。
所以∠ECD=180°-∠ECF-∠DCA=180°-∠BCD-∠DCA=180°-∠ACB≤60°。
小角对小边，所以ED≤DC。
所以BD+DC+DA≥EC+ED+DA≥FA。
所以当D在C点时，BD+DC+DA有最小值。即C为费马点。
综上所得：我们知道，
当△ABC最大内角小于120°时，F在△ABC内部，且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;
当△ABC有一内角不小于120°时，F点与最大角的顶点重合。
特别地，如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则有结论：
（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。
费马点的另一种找法
这样去做等边三角形之后再连接，其实就是前面也讲过的手拉手模型，那么如何来证明呢？
（1）证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE，∴△AFC≌ABE. ∴CF=BE
同理可证△BCF≌△BDA，CF=AD. ∴AD=BE=CF.
∵△AFC≌ABE ,∴∠AFC=∠ABE,∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°
同理可证∠APB=∠APC=120°, ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°.
（2）证明并不困难，这里就不给出证明了，给一点提示：比如在FC上取一点Q，使得FQ=AP。
怎么画费马点？分别以三角形ABC的一边为边长向外作等边三角形，画其外接圆，三个外接圆的交点即为费马点。
最简单的画法是这样的：只画一个等边三角形BCF，直接联结AF，AF与圆的交点即为点P。
特别地，如果三角形ABC最大角大于或等于120度，如角A，则费马点就是点A。
什么是加权费马点问题？
标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。如果不全为1(全为正数)，就变成了加权的费马点问题，即讨论kPA+mPB+nPC的最小值，其中k,m,n为正数。
在目前的这类问题中，普遍所给系数满足勾股定理，解决的办法是主要是通过旋转、缩放转化。如下题
将三角形APC绕点C顺时针旋转60度，得到三角形A'P'C，再将三角形A'P'C以点C为中心缩放1/2，得到三角形A''P''C。
在此旋缩过程中，
拖动变化点P看看，
当点P，B，A''共线时，BA''长度即为所求最小值。
此种做法中，哪个图形绕哪个点旋转，旋转多少度，怎么缩放，缩放比是多少都需要根据题中的数据进行探索。
有没有方法不需要考虑这么多呢？而且可不可以不用限制系数满足勾股定理呢？
经过一番探索，得到如下终极求法
加权费马点的终极求法
仍以上面题目为例，我们将系数标记在对应线段上
首先找出题中系数最大的“1”，对应的点B，B点对边为AC，在AC边往外作三角形，边长比例为三个系数比，注意系数与边的对应。
然后画出三角形ACD的外接圆，联结BD,BD与圆的交点即为所求的P点，BD的长度（此时PB对应的系数为1，后面还要讲）即为所求最小值。
与前面的方法对照一下，结果是一样的
这里有两个特殊情况也说一下：
如果按照这种方法，点B落在圆的内部，此时线段BD与圆没有D以外的交点，则B点即为P点。如果最大系数大于另两个的和，则三个系数构造不了三角形，那么最大系数对应的点也是P点。
正常情况下，即点P在三角形内部的时候，找点P时，不必先找系数最大的，见下图三种做法都可以。
但是要得到最终的最小值，还要把所得的线段长度乘以对应的系数，即最小值等于
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：
【答案解析】
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