第六届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)

一、填空题（本题30分，每小题5分，共6小题）

1. 求的值。解答： 利用L'Hospital法则，得 原式

2. 设实数，求微分方程的解。解答： 这是二阶可降阶微分方程，令，则，分离变量再积分，得。 由得，所以，即。 所以，再由得，因此。

3. 设，求。解答： 令，则，且。 所以。

4. 求不定积分。解答： 凑微分法，。

5. 设曲线积分，其中是以为顶点的正方形的边界曲线，方向为逆时针方向，求。解答： 曲线的方程为，记所围的区域为，利用Green公式，得。

6. 设是平面上由光滑封闭曲线围成的有界闭区域，其面积为，函数在该区域上连续且，记，求。解答： 记，则，且。 根据归结原理得。 利用L'Hospital法则，得。 所以。

二、（本题12分）

设是平面上点处的个方向向量，相邻两个向量之间的夹角为。又设函数在点处有连续偏导数，证明：。证明： 设，函数在点处的梯度记为，则方向导数，。 因此。

三、（本题14分）

设均为阶方阵，其中可逆。证明：存在可逆阵使得成立的充要条件是和相似。证明：

必要性

若，则由可逆条件得。 于是，即，故与相似。

充分性

设和相似，即存在可逆矩阵，使得，则，。 记，则是可逆矩阵，且，。

四、（本题14分）

设，，，证明收敛并求其和。证明与求解： 记，则由题设可知，且，所以为严格单调增加的正数列，且。 设级数的部分和为，则。 因此，这表明级数收敛，且其和等于。

五、（本题15分）

1. 将上的函数展开成Fourier级数，并证明；
2. 求积分。

解答

1. 由于在区间上为偶函数且连续，所以的Fourier级数为余弦级数。 经计算，得， 且。 所以当时，。 令，，在上式取，得。 又， 即，由此解得。

2. 令，则在上可展开成级数：。 记，，则，故。 根据交错级数的性质，，则有， 由此可知。 而， 所以。 利用(1)的计算结果，得。

六、（本题15分）

设为上的非负连续函数，极限

存在且有限，则广义积分收敛于。证明：极限

存在且等于。

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证明

当时，正方形区域的内切圆为，外接圆为。

由，可得积分的包含关系：

已知，且（令）。

根据夹逼准则，对上述不等式取极限：