Hi，我是马老师，专注上海初中数学提升的一个老兵，坐标上海嘉定。
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很多孩子看到这道题，第一反应是：第（1）①问还行，第（1）②问开始懵，第（2）问直接放弃——三个角相等，怎么用？
今天咱们就用这道压轴题，把“化归思想”讲透。
02 什么是化归思想？
化归思想，就是将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，将一般问题转化为特殊问题。
化归思想包括转化思维和分类讨论思维，今天的例题是转化思维的运用。
打个比方：
你不会解分式方程，就把它变成整式方程——这是化归思想中的转化思维。
你不会求多边形内角和，就把它变成三角形内角和——这是化归思想中的转化思维。
你不会求线段长度，就把它变成相似三角形的比例式——这也是化归中的转化思维。
一句话理解：就是把不会的变成会的，把难算的变成好算的。
中考数学卷的专家评析中明确指出：试题注重考查化归思想，要求学生能够灵活运用转化和分类讨论的方法解决问题。
这道第25题，就是化归思想的集大成者。
03 化归思想第1招：构造全等，转化角相等
第（1）①问：当E是BC中点，AE = EF，求证∠BAE = ∠CFE。
问题：∠BAE在△ABE中，∠CFE在△CFE中。这两个三角形看起来不全等，怎么证角相等？
化归思路：要证角相等，可以通过证明三角形全等，图中既有的三角形显然不相等，那有没有可能构造辅助线，转化为证线段相等，再转化为证三角形相等？
关键转化：延长FE交AB延长线于点H
为什么这样构造？
因为E是BC中点，且AB∥CD（平行四边形性质），所以△BEH和△CEF有对顶角、内错角相等，再加上BE = CE
所以△BEH ≌ △CEF（AAS）
得到EH = EF，∠H = ∠CFE
又因为AE = EF（已知），所以AE = EH，△AEH是等腰三角形，∠BAE = ∠H
所以∠BAE = ∠CFE。
这里用到的化归思想：
把“证角相等”转化为“证线段相等”
把“证线段相等”转化为“证三角形全等”
通过构造辅助线，把未知关系变成已知关系
总结：当直接证明角相等困难时，通过构造全等三角形，把角相等转化为线段相等。
这就是化归的第一招：当直接证明困难时，构造辅助线，把问题转化为熟悉的模型。
04 化归思想第2招：构造相似，转化面积比
第（1）②问：当CF = DF，E是BC中点，求S△BEG : S△AEF的值。
问题：面积比不好直接求，是否可以转化呢？我们学相似三角形时，有个知识 点是面积比等于相似比的平方。
化归思路：把面积比转化为线段比，等高三角形的面积比等于底边比。
关键转化：延长BF交AD延长线于点M。
为什么这样构造？
由AD∥BC（平行四边形性质），得到△BEG ∽ △MAG，△BCF ∽ △MDF
由CF = DF，得△BCF ≌ △MDF（实际上相似比为1，所以全等）
所以BC = DM，BF = MF
设CE = BE = m，则BC = DM = 2m，AD = BC = 2m（平行四边形对边相等）
所以AM = AD + DM = 4m
由△BEG ∽ △MAG，得：
由BG:GM = 1:4，设BG = k，则GM = 4k。
因为BF = MF，且MF = MG - GF = 4k - GF，BF = BG + GF = k + GF，
所以k + GF = 4k - GF → 2GF = 3k → GF = 1.5k，
所以BG:GF = k : 1.5k = 2:3。
现在，利用等高三角形面积比等于底边比：
所以：
S△BEG : S△BGA = GE : AG = 1:4(两三角形高相等）
S△ABG : S△AFG = BG : FG = 2:3(两三角形高相等）
设S△BGA = 4n，则S△BEG = n，S△AFG = 6n
再由S△EGF : S△AFG = GE : AG = 1:4，得S△EGF = 1.5n
所以S△AEF = S△AFG + S△EGF = 6n + 1.5n = 7.5n
因此S△BEG : S△AEF = n : 7.5n = 2:15
这里用到的化归思想有：
把“面积比”转化为“线段比”，通过构造平行线，把复杂图形中的比例关系转化为相似三角形，通过设未知数，把比例关系转化为代数计算。
这就是化归的第二招：当遇到面积比时，转化为线段比；当遇到复杂图形时，构造相似三角形。
05 化归思想第3招：多组相似，转化方程组
第（2）问：AD = 5，AB = 3，CF = 1，∠AEB = ∠AFE = ∠EFC，求AF的长。
问题：三个角相等，怎么用？直接求AF，没有现成的公式。
化归思路：三个角相等，可以推出多组相似三角形，再把几何关系转化为代数方程。
关键转化：延长AD、EF交于点M。
第一步：找第一组相似
由AD∥BC（平行四边形性质），得∠AEB = ∠EAD。
已知∠AEB = ∠AFE，所以∠AFE = ∠EAD。
又∠AEF = ∠MEA（公共角），所以△AEF ∽ △MEA（两角对应相等）。
第二步：找第二组相似
由∠AEB = ∠AFE，且∠AEB + ∠AEF + ∠FEC = 180°，∠AFE + ∠FEC + ∠ECF = 180°，
所以∠AEF = ∠ECF。
又∠AFE = ∠EFC（已知），所以△AEF ∽ △ECF（两角对应相等）。
第三步：找第三组相似
由AD∥BC，得△ECF ∽ △MDF（两直线平行，内错角相等）。
第四步：设未知数，列方程
已知CF = 1，CD = AB = 3，所以DF = 2。
设CE = s，FE = t。
由△AEF ∽ △ECF，得：
即：
所以AE = st，AF = t²。
由△ECF ∽ △MDF，得：
即：
所以
这里用到的化归思想：
把“三个角相等”转化为“多组相似三角形”，把“几何关系”转化为“比例式”，把“比例式”转化为“代数方程”，解方程得到未知线段长度
这就是化归的第三招：当条件复杂时，分解成多个简单模型；当几何难算时，转化为代数方程。
06 化归思想在6-9年级的体现
07 写在最后
这道上海中考数学压轴题，从第（1）①问的辅助线构造，到第（1）②问的面积比转化，再到第（2）问的多组相似方程组，一步一步，全是化归思想的体现。
第（1）①问：把角相等转化为线段相等，再转化为三角形全等
第（1）②问：把面积比转化为线段比，再转化为相似三角形比例
第（2）问：把三个角相等转化为多组相似，再把几何关系转化为代数方程
化归思想，就是帮你把不会的题，变成会的题。
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我是马老师，专注上海初中数学提升的一个老兵，坐标上海嘉定。
