第七届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案

第七届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)

一、填空题(本题30分，每小题6分，共5小题)

(1) 微分方程  的通解为______ (2) 设 ，则积分  的值是______ (3) 设  二阶连续可导，且 ，若 ，则 ______ (4) 设  是n阶方阵A的特征值， 是多项式，则矩阵  的行列式的值为______ (5) 极限  的值是______

二、(本题14分)

设函数  在全平面上有连续的偏导数，曲面S由方程  确定，证明：该曲面上的所有切平面都经过点。

三、(本题14分)

设  在  上连续，证明：。

四、(本题14分)

设A是  矩阵，B是  矩阵，C是  矩阵，证明：，其中  表示矩阵X的秩。

五、(本题14分)

设 ，其中n为正整数。 (1) 若 ，计算：。 (2) 设p为实数，讨论级数  的绝对收敛性和条件收敛性。

六、(本题14分)

设  和  在空间上有连续偏导数，记上半球面 ，且方向向上。若对任何点  和 ，第二型曲面积分 ，证明：。

第七届全国大学生数学竞赛决赛试题参考解答(非数学专业类)

一、参考解析

(1) 显然 （常数）是方程的解。一般地，令 ，则原方程可化为 。分离变量并积分，得 ，即 ，即 ，因此，方程的通解为  或 ，其中  为任意常数。

(2) 利用极坐标计算并结合对称性，得作变量代换：，则。

(3) 因为 ，，所以 ，于是。

(4) 因为  是A的特征值，所以  是  的特征值，。因此。

(5) 利用指数函数  的Taylor公式，得。 记 ，，则。 注意到 ，其奇偶性与n相反，又当  时，，所以，， 因此，极限  不存在。

二、参考证明

记 ，则S在其上任意点  处的法向量为。 若用  表示切平面上的动点，则S在点  处的切平面方程为。 容易验证，当  时，上式恒成立，因此S上的所有切平面都经过点 。

三、参考证明

令 ，则 。因为  在  上连续，所以  在  上可导，且 。因此。

四、参考证明

欲证之不等式即。 因为，， 且 、、 都是可逆矩阵，所以， 故 。

五、参考解析

(1)。

(2) 当  时，，所以 ，从而有，即 。

• 当  时，，且  收敛，根据比较判别法知  收敛，所以  绝对收敛；
• 当  时，，而  发散，根据比较判别法知  发散；另一方面，根据夹逼准则，，又 ，故由Leibniz判别法知  收敛，所以  条件收敛；
• 当  时，由于 ，所以 ，故由级数收敛的必要条件可知， 发散。

六、参考证明

记 ，取下侧，则  构成一封闭曲面的外侧。由题设条件 ，有。 又记  所包围的空间区域为 ，利用Gauss公式得。 而 ，其中  是  在  平面上的投影，所以。 对上式两边分别利用三重积分与二重积分的中值定理，存在点  及 ，使得， 即 。 令 ，则 ，，故由上式可得 。 由于点  的任意性，所以 ，从而有 。代入上式，得 ，令  得 。 由于点  的任意性，因此 。