2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷

一、解答题

1．因式分解：x³﹣2x²﹣5x+6．

2．已知，求（4x³﹣2025x﹣2022）³．

3．解方程组．

4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝．

5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝．

6．方程的正整数解（x，y）有组．

7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为．

8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后，数值等于斜边长．求斜边的长．

9．已知．（其中x＞1）．

（1），求y与t的函数关系式；

（2）求y的最大值．

10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a³+b³+18ab．

11．求方程x²+9xy+14y²+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）．

2022年江苏省南京师大附中特长生选拔招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、解答题

1．因式分解：x³﹣2x²﹣5x+6．

【分析】首先补项，进而利用十字相乘法以及提取公因式法分解因式得出即可．

【解答】解：x³﹣2x²﹣5x+6

＝x³﹣3x²+（x²﹣5x+6）

＝x²（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣2）

＝（x﹣3）（x²+x﹣2）

＝（x﹣3）（x+2）（x﹣1）．

【点评】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．

2．已知，求（4x³﹣2025x﹣2022）³．

【分析】根据得1﹣2x＝，则（1﹣2x）²＝1﹣4x+4x²＝2022，4x²﹣4x＝2021，将原式化为[（4x³﹣4x²）+（4x²﹣4x）﹣2021x﹣2022]³，再整体代入即可求解．

【解答】解：∵，

∴＝，

∴（1﹣2x）²＝1﹣4x+4x²＝2022，

∴4x²﹣4x＝2021，

∴原式＝[（4x³﹣4x²）+（4x²﹣4x）﹣2021x﹣2022]³

＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）³

＝（﹣1）³

＝﹣1．

【点评】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键．

3．解方程组．

【分析】计算②+3×①，利用和的立方公式先求出x+y的值，再代入①得一元二次方程并求解，最后利用代入法求出另一个未知数的值..

【解答】解：，

②+3×①，得x³+3x²y+3xy²+y³＝﹣19+18．

∴（x+y）³＝﹣1．

∴x+y＝﹣1．

由x+y＝﹣1得x＝﹣1﹣y③．

把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6．

∴y²+y﹣6＝0．

解这个方程得y₁＝﹣3，y₂＝2．

把y₁＝﹣3，y₂＝2代入③，得x₁＝2，x₂＝﹣3．

∴原方程组的解为，．

【点评】本题考查了高次方程，掌握和的立方公式、一元二次方程的解法是解决本题的关键

4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝40°，则∠EDC＝　20°　．

【分析】可以设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．

【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，

∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，

又因为AD＝AE，

所以∠ADE＝∠AED＝x+y，

则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，

又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，

所以 2x+y＝y+40，

解得x＝20，

所以∠EDC的度数是20°．

故答案为20°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．

5．△ABC中，，，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，则AD＝．

【分析】过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥AB于点G，由含30°角的直角三角形的性质得DE＝AD，CF＝AC＝，再由锐角三角函数定义得CG＝1，然后由S_△ABD+S_△ACD＝S_△ABC得出AB•DE+AD•CF＝AB•CG，即可解决问题．

【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，过C作CF⊥AD于点F，CG⊥AB于点G，

则∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°，

∵∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴DE＝AD，CF＝AC＝×＝，

在Rt△ACG中，sin∠GAC＝＝sin60°＝，

∴CG＝AC＝×＝1，

∵S_△ABD+S_△ACD＝S_△ABC，

∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG，

∴AB•DE+AD•CF＝AB•CG，

即×AD+AD＝×1，

解得：AD＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、锐角三角函数定义以及三角形面积等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．

6．方程的正整数解（x，y）有　3　组．

【分析】利用已知条件将方程变形整理为（x+8）（y﹣8）＝﹣64，分析两数相乘所有的可能，找出符合题意的解的个数．

【解答】解：∵，

去分母得：8y+xy＝8x，

∴（x+8）（y﹣8）＝﹣64，

又∵x与y是正整数，两整数之积为﹣64，

∴存在三种情况：

①，

解得：；

②，

解得：；

③，

解得：．

故方程的正整数解（x，y）有3组．

故答案为：3．

【点评】本题考查了非一次不定方程（组），解答本题的关键是将方程整理为整式方程后再进行分析解决，在解这类方程组，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择恰当的方法进行求解，难度较大．

7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝，⊙M为△ABC的内切圆，则M的横坐标为　3．

【分析】由切线长定理推出BD﹣DC＝6，而BD+CD＝10，即可求出OD长，于是即可得到点M的横坐标．

【解答】解：⊙M为△ABC的内切圆，分别与AB，AC，BC相切于P，N，D，连接MD，

∴AP＝AN，PB＝BD，CD＝CN，MD⊥BC，

∵AB﹣AC＝6，

∴AP+BP﹣（AN+NC）＝6，

∴BP﹣CN＝6，

∴BD﹣CD＝6，

∵B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），

∴OB＝OC＝5，

∴BD+CD＝OB+OC＝10，

∴CD＝5﹣3，

∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，

∴M的横坐标是3．

故答案为：3．

【点评】本题考查三角形的内切圆，坐标与图形的性质，关键是掌握圆的切线长定理．

8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后，数值等于斜边长．求斜边的长．

【分析】设斜边为10a+b，则有一直角边为10b+a，设另一直角边为m，其中a，b为一位正整数，m为两位正整数，然后由勾股定理得出m＝3²×11（a+b）（a﹣b），再根据三角形三边之间的关系得出a，b的值即可．

【解答】解：设斜边为10a+b，则有一直角边为10b+a，设另一直角边为m，其中a，b为一位正整数，m为两位正整数，显然a＞b，

由勾股定理得，m²＝（10a+b）²﹣（10b+a）²＝（11a+11b）（9a﹣9b）＝3²×11（a+b）（a﹣b），

由3≤a+b≤17，1≤a﹣b≤8，可知（奇偶性要相同），

解得，

∴斜边的长为65．

【点评】本题考查勾股定理，关键是三角形三边之间的关系确定a，b的值．

9．已知．（其中x＞1）．

（1），求y与t的函数关系式；

（2）求y的最大值．

【分析】（1）将原式的分子和分母中的括号去掉，分子分母再同时除以x²得，分母再根据配方法得，最后将用t替换即可解答；

（2）根据基本不等式得≥＝20，以此即可求得y的最大值．

【解答】解：（1）

＝

＝

＝

＝

＝，

∵，x＞1，

∴（t＞0）；

（2）∵＝（t＞0），

∴≥＝20，当且仅当4t＝，即t＝时等号成立，

∴y≤，

即y的最大值为．

【点评】本题主要考查配方法的应用、函数关系式、基本不等式，熟练掌握a+b（当且仅当a＝b时取等号（a＞0，b＞0）是解题关键．

10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a³+b³+18ab．

【分析】先将a进行分母有理化，再进行无理数的估算，从而确定a与b之间的数量关系，进而解决此题．

【解答】解：＝．

∵6＜，

∴6＜a＜7．

∴a的小数部分是a﹣6．

∴b＝6﹣a．

∴a+b＝6．

∴a³+b³+18ab＝（a+b）³﹣3ab（a+b）+18ab＝6³﹣18ab+18ab＝216．

【点评】本题主考查分母有理化、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握分母有理化、无理数的估算是解决本题的关键．

11．求方程x²+9xy+14y²+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）．

【分析】将方程变形为（x+2y+1）（x+7y+1）＝11，根据整数解的定义可得方程组或或或，解方程组即可．

【解答】解：x²+9xy+14y²+2x+9y﹣10＝0，

整理，得（x+2y）（x+7y）+（x+2y）+（x+7y）+1＝11，

即（x+2y+1）（x+7y+1）＝11，

故或或或，

解得（x，y）＝（﹣4，2）或（14，﹣2）或（2，﹣2）或（﹣16，2）．

【点评】本题考查了非一次不定方程（组）中方程整数解的求法：把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的2个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解．