第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷及参考答案
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真题及详解
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考解答(非数学专业类)
一、
(1) 极限 ______ 当 时，，所以。
(2) 设一平面过原点和点，且与平面垂直，则此平面方程为______ 根据题设条件，所求平面可设为，且。 因为两平面垂直，相应的法向量与垂直，所以， 从而，因此，所求平面为。
(3) 设函数具有一阶连续偏导数，满足及，则______ 利用凑微分，可知。 又由解得，所以。
(4) 满足及的可微函数______ 记，则原方程为。 这是一阶线性微分方程，利用求解公式得。 由解得，即。 等式两边同时在上积分，可得，故， 所以。
(5) 设是互不相同的正实数，是实数，满足，，，，则______ 将所给4个等式取对数，得到以为解的线性方程组
因为至多一个为0，所以齐次方程组有非零解，其系数行列式
二、(本题11分)
设函数在区间内连续，且存在两两互异的点，使得。 证明：对任意，存在互异的点，使得。
参考证明
不妨设
，，考虑辅助函数， 则在闭区间上连续，且。 根据连续函数介值定理，存在，使得。 令，，则，，且。三、(本题11分)
设函数在区间上连续且，证明在区间上存在三个不同的点，使得
参考解析
令，则，，且函数在闭区间上可导。 根据介值定理，存在点，使。 再分别在区间与上利用Lagrange中值定理： 存在，使得， 即； 存在，使， 所以。
四、(本题12分)
求极限：
参考解析
注意到，，， 利用等价无穷小替换，得。 因此，所求极限为。
五、(本题12分)
设，定义，。 (1) 证明：对任一非零，； (2) 求满足条件的最小值。
参考证明
(1) 二次型的矩阵为
因为实对称，其任意阶顺序主子式，所以正定，故结论成立。
(2) 对作分块如下，其中， 取可逆矩阵，则， 其中。经计算得，。 记，其中，， 且正定，所以， 当时，，因此满足条件的最小值为。
六、(本题12分)
设函数在区域上具有一阶连续偏导数，且满足，以及，其中。证明：。
参考证明
在Green公式中， 依次取，和取，，分别可得，。 两式相加得：
对再次利用Green公式，得。 对的被积函数利用Cauchy不等式，得
因此。
七、(本题12分)
设
，，（有限或无穷）。 (1) 证明：当时级数收敛，当时级数发散； (2) 讨论时级数的收敛性并阐述理由。参考解析
(1) 若，则
，使得。 根据极限性质，，使得，有，即。 由时收敛，所以收敛。若，则，使得
。 根据极限性质，，使得，有，即。 由时发散，所以发散。(2) 当时，级数可能收敛，也可能发散。 例如满足，但级数发散； 又如满足，但级数收敛。
END
