2026 年中考数学模拟试卷

考试时间：120 分钟满分：120 分

第Ⅰ卷 选择题（共 30 分）

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. -5 的相反数是（）

A. -5B. 5C. 1/5D. -1/5

2. 2025 年某市 GDP 达到 3.2 万亿元，用科学记数法表示为（）

A. 3.2×10⁸B. 3.2×10¹⁰C. 3.2×10¹²D. 32×10¹¹

3. 下列运算正确的是（）

A. a²·a³=a⁶B. (a²)³=a⁵C. a⁶÷a²=a⁴D. a²+a³=a⁵

4. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）

第 4 题图

5. 已知直线 a∥b，∠1=60°，则∠2 的度数为（）

第 5 题图

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°

6. 一组数据 2，4，4，5，7 的中位数是（）

A. 4B. 4.5C. 5D. 7

7. 若关于 x 的一元二次方程 x²-2x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（）

A. -1B. 1C. 2D. 4

8. 一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个白球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）

A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 2/3

9. 一次函数 y=2x-3 的图象不经过（）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 是 AD 的中点，则 BE 的长为（）

第 10 题图

A. 5B. √73C. 10D. √89

第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

11. 分解因式：x²-4 = _______________

12. 若 |a-2|+(b+3)²=0，则 a+b = _______________

13. 已知 x₁，x₂是方程 x²-3x+2=0 的两个根，则 x₁+x₂ = _______________

14. 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，若 DE=4，则 BC = _______________

第 14 题图

15. 抛物线 y=x²-2x+3 的顶点坐标是 _______________

三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）

16. 计算：(-1)²⁰²⁵ + √16 - |−3| + (1/2)⁻¹

17. 解方程：2/(x-1) = 3/(x+2)

18. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，切点为 C。若∠A=30°，求证：∠BCD=60°

第 18 题图

四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）

19. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE=CF。

第 19 题图

（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；

（2）若 AB=5，AD=8，∠A=60°，求四边形 ABCD 的面积。

20. 某校为了解九年级学生的体育测试情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，绘制了如下不完整的统计图表：

（1）求 a、b 的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若该校九年级共有 500 名学生，估计体育成绩达到良好及以上的学生有多少人？

21. 如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在距离旗杆底部 B 点 10 米的 C 处，用测角仪测得旗杆顶端 A 的仰角为 60°。已知测角仪的高度 CD=1.5 米，求旗杆 AB 的高度。（结果精确到 0.1 米，参考数据：√3≈1.732）

第 21 题图

五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）

22. 【规律探究题】

观察下列等式：

第 1 个等式：3²-1²=8×1

第 2 个等式：5²-3²=8×2

第 3 个等式：7²-5²=8×3

第 4 个等式：9²-7²=8×4

……

（1）写出第 5 个等式：_______________

（2）写出第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明你的结论；

（3）利用上述规律计算：101²-99²+97²-95²+…+5²-3²+3²-1²

23. 【综合压轴题】

如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数 y=k/x（k>0）的图象经过 BC 的中点 D。

第 23 题图

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 P 是反比例函数图象上的一点，且△ODP 的面积等于正方形 OABC 面积的 1/4，求点 P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在 x 轴上是否存在点 Q，使得以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

📝 参考答案与解析

一、选择题

二、填空题

11. (x+2)(x-2)

12. -1

13. 3

14. 8

15. (1, 2)

三、解答题（一）

16. 解：原式 = -1 + 4 - 3 + 2 = 2

17. 解：

方程两边同乘 (x-1)(x+2)：

2(x+2) = 3(x-1)

2x + 4 = 3x - 3

x = 7

检验：当 x=7 时，(x-1)(x+2)≠0

∴原方程的解为 x=7

18. 证明：

连接 OC

∵CD 是⊙O 的切线

∴OC⊥CD，即∠OCD = 90°

∵OA = OC

∴∠OCA = ∠A = 30°

∵AB 是直径

∴∠ACB = 90°

∴∠OCB = 90° - 30° = 60°

∴∠BCD = ∠OCD - ∠OCB = 90° - 30° = 60°

四、解答题（二）

19. 解：

（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

（2）过点 B 作 BE⊥AD 于点 E

在Rt△ABE 中，∠A=60°，AB=5

∴BE= AB·sin60° = 5 × √3/2 = 5√3/2

∴S▱ABCD= AD·BE = 8 × 5√3/2 = 20√3

20. 解：

（1）总人数 = 20÷0.4 = 50（人）

a= 50×0.3 = 15

b= 10÷50 = 0.2

（2）略（画图）

（3）500×(0.4+0.3) = 350（人）

答：估计体育成绩达到良好及以上的有 350 人

21. 解：

过点 D 作 DE⊥AB 于点 E

则 DE = BC = 10 米，BE = CD = 1.5 米

在 Rt△ADE 中，∠ADE = 60°

AE = DE·tan60° = 10 × √3 ≈ 17.32 米

∴AB = AE + BE = 17.32 + 1.5 = 18.82 ≈ 18.8 米

答：旗杆 AB 的高度约为 18.8 米

五、解答题（三）

22. 解：

（1）第 5 个等式：11²-9²=8×5

（2）第 n 个等式：(2n+1)²-(2n-1)²=8n

证明：左边 = (2n+1)² - (2n-1)²

=(4n²+4n+1) - (4n²-4n+1)

=8n = 右边

（3）原式 = 8×(1+2+…+50) = 8 × (50×51/2) = 8 × 1275 = 10200

23. 解：

（1）∵正方形 OABC 边长为 4，∴B(4,4)，C(0,4)

∵D是 BC 中点，∴D(2,4)

将D(2,4) 代入 y=k/x：4 = k/2，解得 k = 8

∴反比例函数解析式为y = 8/x

（2）S 正方形 OABC = 16，S△ODP = 4

设P(x, 8/x)，可求得：P₁(4,2) 或 P₂(1,8)

（3）存在。点 Q 的坐标为：(6,0)、(-2,0)、(3,0) 或 (-1,0)

📊 试卷说明

难度分布：

容易 40% | 中等 40% | 较难 20%

考查内容分布：

数与代数 42% | 图形与几何 37% | 统计与概率 13% | 综合与实践 8%