01
等式 
（1）定义：含有等号的式子叫做等式.
（2）性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变. 若a=b，那么a+c=b+c.
②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变.若a=b，那么ac=bc或a÷c=b÷c（c≠0）.
③对称性：若a=b，则b=a.
④传递性：若a=b，b=c，则a=c.
（3）拓展：
①等式两边取相反数，结果仍相等.
如果a=b，那么-a=-b
②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等.
如果a=b≠0，那么1/a=1/b
③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质.
如移项，运用了等式的性质①; 
去分母，运用了等式的性质②.
④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0 ，否则无意义.
02
方程
（1）定义：含有未知数的等式叫做方程.
（2）说明：
①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可.
②未知数：
通常设x、y 、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以.
未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程.
一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！ 
③次” ：
方程中次的概念和整式的“ 次” 的概念相似.指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数.未知数次数最高是几就叫几次方程.
④方程有整式方程和分式方程.
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程.
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
例1
分析：
显然，我们要保证次数为1，且一次项系数不为0．
解答：
变式
分析：
与例1相同，要注意的是，这里要将方程移项变形成ax＋b＝0的形式，不难发现表面看去是二次方程，则二次项系数必为0，且一次项系数不为0．
解答：
03
一元一次方程的概念 
（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程.
（2）一般形式：ax+b=0（a ，b为常数，x为未知数，且a≠0）.
（3）注意：
①该方程为整式方程.
②该方程有且只含有一个未知数.
③该方程中未知数的最高次数是1 .
④化简后未知数的系数不为0 ．
如：2x-1=2x，它不是一元一次方程.
⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如1/x+3=x，它不是一元一次方程.
04
 一元一次方程的解法
（1）方程的解：
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“x=?” 的形式.
（2）解方程：
求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程.
（3）移项：
①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项.
②说明：
Ⅰ移项的标准：
看是否跨过等号，跨过“=” 号才称为移项；移 项一定改变符号，不移项的不变.
Ⅱ移项的依据：
移项实际上就是对方程两边进行同时加减， 根据是等式的性质① .
Ⅲ移项的原则：
移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解.
（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 （在草纸上）
（5）一般方法：
①去分母， 程两边同时乘各分母的最小公倍数.
②去括号， 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号.但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律.
③移项， 方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（ 一般都是把未知数移到一起）
④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax=b（a≠0） 的形式.
⑤系数化1 ， 两边都乘以未知数的系数的倒数.
⑥检验，用代入法，在草稿纸上算.
（6）注意：
（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）
①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数， 局部变形；
②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）； 
③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；
⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法； 
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算.
（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同.
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变.
解方程易错点
一元一次方程的解法都已经讲过，但错误却始终贯穿整个教学过程，分析一下，有以下几个易错点：
(1)移项不变号，或者移动的项不变号，只变不移动的项的号．
(2)去括号时，出现漏乘，尤其是括号内最后一项不乘括号外的系数．
(3)系数化为1时，结果与准确答案是互为倒数，应该两边同除以系数，或者乘上系数的倒数．
当然，需要去分母的方程，错误率就更高了，先选取2例．展示错解，方便改正．
例1
错解1：
同乘15得，x－5(x－1)＝7－3(x＋3)
错解2：
同乘15得，15x－5x－5＝105－3x＋9
分析：
去分母解方程要注意两点，
(1)等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，尤其是常数．
(2)当分子是多项式时，去分母后分子作为整体，应加括号．
我们在计算时，不要怕麻烦，不妨每一步都认真写好，就不会错了．
正解：
例2
错解：
分析：
对于分母是小数的方程，我们要把它转化为分母是整数的方程，再求解．但是，将分母转化为整数，是利用了分数的基本性质，分数的分子分母同乘一个非零数，分数的值不变，因此，这里的3不能乘10．
正解：
★ 反思★
本题还有更快的做法吗，有！我们的目标是去分母，如果能使分母直接变成1，就可以直接去括号解决了，而0.2×5＝1，0.5×2＝1，因此各项的分子分母分别扩大五倍，两倍，达到直接去分母的目的．
巧解：
例3
分析：
显然，本题按照上述方法是可以做的，只不过较烦，能否有更快的方法呢？我们发现，分母分别为0.3，0.03，倘若每一项都乘0.3，不仅可以达到去分母的目的，而且常数项也变小了．做法更加巧妙．当然，这种做法仅限于学有余力的同学，基础一般的还是按照常规方法吧！
巧解：
含参方程求解套路
1、整数解问题
例1
当k取何整数时，关于x的方程2kx＝kx＋2(x＋2)的解为正整数？
分析：
对于含参数的方程，我们一定还是要将方程先解出来，注意，只含有参数的项，移到右边，作为常数，同时含有参数和未知数的项，移到左边，确保合并同类项时，不要漏项，最后转化为以含有参数的代数式为系数的未知项．系数化为1时，两边同除以系数．即x用含参数的代数式来表示．
而要使结果为整数，通常右边的代数式中，分子为整数，那么分母必为分子的因数！
解答：
例2
分析：
本题方法与上题一致，不过需要先去分母，注意两者都是正整数．
解答：
2.同解问题及变式
例1
分析：
同解问题，即两个方程的解相同，观察题目，第一个方程可解，因此可以将x的值解出来，代入到第二个方程中，将其转化为关于参数a的方程，从而求解．
解答：
★ 反思★
本题我们只能这样做吗？
当然不，第二个含参数的方程，依然可解，只需要将用含参数的代数式表示未知数即可，最后利用解相同，建立方程求解．对于两个都含有参数的方程，这是必须掌握的方法．
另解：
一元一次方程计算易错点分析
一元一次方程是初中数学的基础内容，对于七年级的学生来说，掌握一元一次方程的计算方法并避免常见错误是非常重要的。本文将围绕以下七个方面分析一元一次方程计算中的易错点：
1. 移项未变号
在解一元一次方程时，移项是一种常见的变形手段，但学生常常忽略移项的同时需要改变符号。例如，将5x+3=4x+5移动项后得到5x+4x=5+3，这里就出现了移项未变号的问题。正确的方法是在移动项时同时改变符号，即5x-4x=5-3。
2. 系数化1易忽视
在一元一次方程中，将系数化为1是一种常见的解题技巧。但学生在应用此技巧时，常常忽视将常数项移到等号的另一边。例如，方程2x+4=6，学生容易误解为2x=6+4而忽略将常数项移到等号的另一边，正确的做法应该是2x=6-4。
3. 丢掉单位
单位是数学表达式中不可或缺的一部分，但在解一元一次方程时，学生常常会忘记加上单位。例如，方程2x+3=7中的x应该表示为x米或x厘米等具体单位。
4. 忽视验根
验根是一元一次方程求解的重要步骤，用来检查求解过程中是否有错误。但学生常常因为懒惰或缺乏耐心而忽略这一步。验根的方法是将求得的根代入原方程中检查等式是否成立。
5. 合并同类项失误
合并同类项是一元一次方程计算中的基础步骤，但学生在合并同类项时常常出现失误。例如，在方程2x+3x=5x中，学生容易误认为2x+3x=5x-3x或2x+3x=5x+2x等。正确的做法应该是将同类项进行合并，即2x+3x=5x。
6. 未知数系数化简错误
未知数系数化简是一元一次方程计算中的重要步骤，但学生常常因为粗心而出现错误。例如，在方程2x+3=7中，将未知数系数化为1时，学生容易误认为2x=7+3而忽略将常数项移到等号的另一边，正确的做法应该是2x=7-3。
7. 方程两边的数学公式错误
在一元一次方程中，有时需要通过数学公式来求解未知数。但学生在使用数学公式时常常出现错误。例如，在求解方程(x+2)2=9时，学生容易误认为x+2=9而忽略开方运算，正确的做法应该是使用开方运算求解出x的值。
出现计算问题的原因是多方面
01
不会运用草稿纸
现在的孩子经常不用草稿纸，即便有人用了，但是写得太潦草，根本看不清答案，这是非常不好的习惯，更有甚者，有孩子直接在讲义上打草稿，然后擦掉，这些都不利于大家的学习；
02
“瞪眼大法”
有学生拿到题以后，不动笔，只用眼看，几分钟后，直接写出答案，结果发现是错的，这种情况在孩子们间很普遍；或者是解题跳步太厉害，自以为是，总以为自己能算对，所以根本不按照老师严格要求的步骤进行书写，非常容易出错。
03
注意力不集中
做题时，有人在旁边经过，孩子就会抬头观望，注意力太容易分散，影响做题的效果；
04
做题太“拖沓”
有孩子做题时懒懒散散，没有紧张感，本来20分钟能做完的作业，竟然能拖到一个小时后才能完成，做事拖沓、"磨唧"，不能做到干脆利落，这也不利于孩子们的学习。建议大家限时去做，给自己定闹表，规定在一段时间内必须完成多少作业；
05
瞻前顾后
当晚做的计算题，有答案是分母很大的分数，有同学就怀疑自己是否做错了，然后做后面的题时，会不停的"回顾"上一题，影响了做题的质量；
06
怕做计算题
有同学一看到计算题就头疼，发憷，计算题没有那么恐怖，只要按照老师的要求，严格的按照解题步骤，一切都是水到渠成；
07
做题过程中，有同学不去检查，做完题就以为完成了
殊不知，检查是非常重要的一步，尤其是计算题的检查，但是有同学是在讲义上打草稿，再检查时已经找不到解题过程了，还有同学草稿纸运用不好，解题过程自己都不认得，最后只好自己重新算一遍，浪费了时间，降低了效率；
计算题的出错有很大一部分原因起始于草稿纸，也能结束于草稿纸，提醒大家一定要学会运用草稿纸。
解决计算问题需要从以下方面入手
01
坚持做计算题（每天10道）
很多老师都要求大家每天做一定量的计算题，这是非常考验大家毅力的，在初一阶段，最重要的任务就是练好计算题，坚持半年即可。
02
限时做题
每次做题时，都给自己限定时间，当然时间的设置要符合实际，可以统计做题的时间数据，掌握自己做题的情况，以后不断调整时间。
03
不能跳步
解题跳步这一问题很普遍很严重，尤其在碰到含有括号、负号、分母的计算题时，同学们极易出错，因此希望大家能严格按照步骤做题，不要跳步。
04
运用好草稿纸
这个在上面已经强调过。
06
要有好的做题环境
现在家长给孩子们提供的学习环境都是最好的，希望同学们能好好利用。计算题要求注意力集中，建议大家每天在安静的时候做能十道计算题。
07
最后，做完题后要注意检查
05
解决实际应用题的策略
①审题：
就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤.
②设出适当未知数，
往往问什么设什么，有时也间接设未知数， 然后用未知数通过关系表示出其他相关的量.
③找出等量关系，
用符号语言表示就是列出方程.
06
分析问题方法
①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
07
设未知量方法
一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x ，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程.
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；
②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量.
08
找等量关系的方法
“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系.
①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系.
②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．
（比如体积公式，
单价×数量总价，
单产量×数量＝总产量，
速度×时间＝路程，
工效×时间＝工作总量等．
这些常见的基本数量关系，就是等量关系）
③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系.
④借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化．对于较复杂的题目，同学们可 借助线段图找等量关系.
09
列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点
一般解题思路
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
1. 审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）；
2. 设——设未知数：根据提问，巧设未知数；
3. 列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；
4. 解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
5. 答——检验答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案（注意单位）。

一元一次方程实际问题汇总

1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现.

审题时要抓住关键词，确定标准量与比较量，并注意每个词的细微差别.

为了丰富学生课后服务活动，某校七年级开展了篮球兴趣班和足球兴趣班，现需要给每名兴趣班同学分别购买一个篮球或一个足球，篮球每个100元，足球每个80元，结合图中两个学生的一段对话，求两个兴趣班各有多少人？

解：设参加篮球兴趣班的学生有x人，则参加足球兴趣班的学生有（x+30）人，根据题意，得：100x=80（x+30），解得x=120，120+30=150．答：参加篮球兴趣班的学生有120人，参加足球兴趣班的学生有150人．

2. 等积变形问题

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为：

 ①形状面积变了，周长没变；   ②原料体积＝成品体积.

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

    ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝πr2h

    ②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

几何问题——典例分析

【例】如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积．

【分析】除了中间最小正方形外，其他5个正方形的边长均未知，可任选一个设其边长为，然后，除了最小正方形外，任选一个正方形或长方形，利用正方形边长相等或长方形对边相等，就可列出的方程，最后再求大长方形的面积.

【解】标记图形的顶点如下图：[这里利用EF=DE列方程]设EF=.∵最小正方形面积为4.∴AB=BC=CD=AD=2.∴CH=DH-DC=2-2.∴MC=CH=2-2.∴KB=MB=MC-BC=2-2-2=2-4.∴AE=KA=KB-AB=2-4-2=2-6.∴DE=AE-AD=2-6-2=2-8.∵DE=EF.∴2-8=，解得=8.∴LN=KB+CH=(2-4)+(2-2)=4-6=26.LJ=MB+AE=(2-4)+(2-6)=4-10=22.所以大长方形的面积为：LNLJ=2622=572.

【点评】一些复杂的几何图形问题，通常需要引入未知数，挖掘图形的边长或面积蕴含的等量关系，根据等量关系列方程求解.

3. 劳力调配问题

从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4. 数字问题

要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.

（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a（其中a、b、c均为整数，且0≤a≤9， 0≤b≤9， 1≤c≤9）.

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

5. 工程问题（生产、做工等类问题）

工作量＝工作效率×工作时间    

合做的效率＝各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量．

6.行程问题

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间      .

要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）

（2）基本类型有

①单人往返   各段路程和＝总路程     各段时间和＝总时间     匀速行驶时速度不变

②相遇问题（相向而行）：快行距＋慢行距＝原总距   两者所走的时间相等或有提前量.

③追及问题（同向而行）；快行距－慢行距＝原总距   两者所走的时间相等或有提前量.

④环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程.

行程问题可以采用画示意图的方法来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点.

⑤航行问题：  顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度;

              逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度.

水流速度=（顺水速度－逆水速度）

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．

⑥考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题

 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然.

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题

行程问题知识点

1.路程、速度、时间的关系：

2.考虑运动物体长度的运动距离计算方法：如图，物体AB沿直线运动到AB，则物体运动前后的对应点间距离为物体运动距离，即运动距离是AA或BB.除了物体的头尾之外，任选一个对应点都是可以的，对应点之间的距离是不变的，就是物体运动的距离.

3.基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

行程问题

  典型例题

一起来分析吧~

【例1】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲乙码头相距多少千米？

【分析】顺流时，船的实际速度=船在静水中速度+水流速度；逆流时，船的实际速度=船在静水中速度-水流速度.  根据等量关系：从甲到乙顺流的距离=从乙到甲逆流时的速度.

【解】设水流速度为千米/时，根据题意可列方程：2(27+)=2.5(27-).解得=3.2(27+3)=60.答：水流速度是3千米/时，甲乙码头相距60千米.

【点评】船的航行是受水流影响的，所以实际行驶的速度与船自身在静水中行驶的速度是不同的.类似的，飞机的飞行也是受风速影响的.

【例2】电瓶车的速度是30千米/时，摩托车的速度是50千米/时，两车相距480千米．(1)如果两车同时出发，同向而行（摩托车在后），那么经过几小时摩托车能追上电瓶车？(2)如果两车同时出发，相向而行，那么经过几小时两车相距80千米？

【分析】(1)根据以下等量关系列方程：摩托车的路程-电瓶车的路程=480.(2)有两种可能性：相遇前，摩托车的路程+电瓶车的路程+80=480；相遇后，摩托车的路程+电瓶车的路程-80=480.

【解】(1)设经过小时摩托车能追上电瓶车，则根据题意可列方程：50-30=480解得=24.答：经过24小时摩托车能追上电瓶车.(2)设经过小时两车相距80千米.当两车相遇前相距80千米时，有：50+30+80=480.解得=5.当两车相遇后相距80千米时，有：50+30-80=480.解得=7.答：经过5小时或7小时两车相距80千米.

【点评】注意两车相距问题，分相遇前和相遇后两种情况，实际解题中，容易漏掉相遇后的情况.

【例3】一列火车匀速通过一座1200米长的桥，从火车上桥到火车完全离开桥经历50秒，整列火车在桥上的时间为30秒，求火车的长度．

【分析】【解】设火车的长度是米，则根据题意可列方程：=.解得=300.答：火车的长度是300米.

【点评】考虑运动物体的长度时，关键是找准物体运动的距离.

例题1

（2021·湖北黄石·七年级期末）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度约为340米/秒．设按喇叭时，汽车离山谷x米，根据题意，可列出方程为（　　）

A．2x+4×72＝4×340B．2x﹣4×72＝4×340

C．2x+4×20＝4×340D．2x﹣4×20＝4×340

【答案】C

【解析】

【分析】

设听到回响时，汽车离山谷x米，首先理解题意找出题中存在的等量关系：汽车离山谷距离的2倍+汽车前进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程即可．

【详解】

解：设汽车离山谷x米，则汽车离山谷距离的2倍即2x，

因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒，

则汽车前进的距离为：4×20米/秒，

声音传播的距离为：4×340米/秒，

根据等量关系列方程得：2x+4×20=4×340，

故选：C

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是找出题目中的相等关系，列方程

例题2

（2022·河北邢台·七年级期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是（）

A．12x＝4（x+20）B．12x＝4（1/3+x）

C．12x＝4×1/3+xD．4x＝12（1/3+x）

【答案】B

【解析】

【分析】

由小王比队伍晚出发1/3h，可得出小王追上队伍时队伍出发了（1/3+x）h，利用路程=速度×时间，结合小王追上队伍时他们的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解

【详解】

解：∵小王比队伍晚出发1/3h（20min），且小王要用x h才能追上队伍，

∴小王追上队伍时，队伍出发了（1/3+x）h

依题意得：12x＝4（1/3+x）

故选：B

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键

例题3

（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．

(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？

(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？

【答案】(1)100千米/小时

(2)甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米

【解析】

【分析】

（1）设乙车速度为x千米/时，根据题意列方程求解即可；

（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为(2×100-m)千米，根据“甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，”列方程求解即可

（1）解：设乙车速度为x千米/时，依题意得：1.8x＝2x－20，解得x=100，答：乙车速度为100千米/小时 

（2）设甲车以100千米/时的速度行驶的路程为m千米，则以120千米/时的速度行驶的路程为(2×100-m)千米，则依题意得：解得m=80∴200-m=120（千米）

答：甲车以100千米/时的速度行驶的路程为80千米，以120千米/时的速度行驶的路程为120千米

【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键

例题4

（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知甲、乙两地相距80千米，小明从甲地出发，开车去乙地．小军从乙地出发，开车去甲地．若小明与小军同时出发，且小明的平均车速是每小时45千米，小军的平均车速是每小时55千米，问经过多少小时两人相遇？（请列方程并求解）

【答案】方程为45x+55x=80，经过0.8小时两人相遇

【解析】

【分析】

设经过x小时两人相遇，根据“小明走的路程+小军走的路程=80”列出一元一次方程求解即可

【详解】

解：设经过x小时两人相遇，

∴列方程为：45x+55x=80，

解得：x=0.8．

答：经过0.8小时两人相遇

【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析出题目中的等量关系．

7. 商品销售问题

（1）商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

（2）商品销售利润＝（销售价－成本价）×销售量；

（3）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．关系式：商品售价=商品标价×折扣率.

一、知识点

①常识问题

进价:购进商品时的价格(有时也叫成本价).售价:在销售商品时的售出价(有时称成交价).标价:在销售时标出的价(有时称定价、吊牌价).

②思维导图

③例题分析

8. 银行储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数（存期），利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税.

⑵ 利息=本金×利率×期数    本息和=本金+利息    利息税=利息×税率（20%）

(3) 利润＝×100%

注意利率有日利率、月利率和年利率: 年利率＝月利率×12＝日利率×365.

【例题】某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？〔不计利息税〕

解：设银行半年期的年利率是x，

由题意得：250+250x=252.7，

解得：x=0.0108．

答：银行半年期的年利率是1.08%．

例题解析

2.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解：设这种债券的年利率是x，根据题意有

4500+4500×2×X×（1-20%）=4700，解得x=0.03

答：这种债券的年利率为3％

9.溶液配制问题

溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量    溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数.

常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意.

10.年龄问题

 大小两个年龄差不会变；主要等量关系：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等.

11.时钟问题

⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究

⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。

常用数据：① 时针的速度是0.5°/分   ② 分针的速度是6°/分  ③ 秒针的速度是6°/秒

例题解析

1.在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°

以下按追击问题可列出方程，不难求解。

解：设经过x分钟二针重合，

则6x＝180＋0.5x  

解得  X=360/11

12.配套问题

 这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系

知识精讲

1.比例性质：比例内项之积等于比例外项之积，即:=:.

2.产品配套：一个产品由几个部件按一定的数量比组成，当各部件总数比等于该数量比时，则刚好组装成成套产品，部件不多不少.

典型例题

【例】制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？可制作多少张桌子？

【分析】要刚好配套，则“桌面总数:桌腿总数=1:4”，即“桌腿总数=4桌面总数”.

【解】设用m木材制作桌面，(12-)m木材制作桌腿，根据题意可列方程：

解得=10，故12-=2.桌子数与桌面数相同，为20=2010=200.   答：应用10m木材制作桌面，2m木材制作桌腿，共制作了200张桌子.

【点评】配套问题，列方程极容易将比例系数配反，为防止出现这类错误，找等量关系应先列部件总数的比例关系，再转化比例内项之积等于比例外项之积.

13.比例分配问题

各部分之和=总量

比例分配问题的一般思路为：设其中一份为x ，利用已知的比，写出相应的代数式.

14.比赛积分问题

注意比赛的积分规则，胜、负、平各场得分之和=总分

典例分析

【例】某校组织科技知识竞赛，共有25道选择题，各题分值相同．每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5个参赛者的得分情况．

参赛者	答对题数	答错题数	得分
A	25	0	100
B	24	1	94
C	23	2	88
D	19	6	64
E	15	10	40

(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣______分.(2)参赛者F说他得76分，他答对了多少道题?(3)参赛者G说他得80分，你认为可能吗？为什么?

【分析】根据等量关系：“答对题的得分+答错题的得分=总得分”解题.【解】（1）由A可得答对一题的得分为：10025=4.   由B可得答错一题的得分为：94-244=-2.答案：4,2.

（2）设参赛者F答对了道题，答错了(25-)道题,根据题意可列方程：4+(-2)(25-)=76.解得=21.答：他答对了21道题.

(3)设参赛者G答对了道题，答错了(25-)道题,根据题意可列方程：4+(-2)(25-)=80.解得=.∵应是自然数. ∴无解.答：参赛者G不可能得80分.

【点评】1.积分榜问题，若存在全对或全错的极端情况，应注意从极端情况得到答对一题或答错一题的得分；2.注意检验方程的解在实际问题中是否有意义.

球赛积分

• 适用：初中生
• 关键词：一元一次方程、不定方程

某校七年级组织足球比赛，积分规则如下：胜一场得分，平一场得分，输一场得分.如果某球队共需比赛场.通过对比赛情况分析，这支球队打满场比赛后，得分不低于分，就能进入下一轮比赛.在这场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能进入下一场比赛？

解析

不妨设胜了场，平了场，则负了场.显然且为自然数，由题意知

当时，，矛盾，舍去；当时，，矛盾，舍去；当时，，但，矛盾，舍去；当时，，满足题意.故这支球队至少要胜场，才能进入下一场比赛.

【方法突破】

比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：

每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;

得分总数+失分总数＝总积分;

失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。

15.方案选择问题

根据具体问题，选取不同的解决方案

知识精讲

方案选择：当解决一个问题，有2种或2种以上的解决方案时，需要通过计算、比较，选择符合需求的一种最佳方案.

典例分析

【例】七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，班级人数超过40人，有以下两种方式团体优惠：方案一，若每人都购票，每张门票打7折；方案二，若打8折，有6人可免票.(1)1班学生人数为44，应选择哪个方案更优惠？(2)某班的学生人数为（＞40），请你从两种方案中为该班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由．

【解】(1)选择方案一的购票费用为：44200.7=616(元）.选择方案二的购票费用为：(44-6)200.8=608(元）.∵616＞608，∴应选择方案二更优惠.

(2)选择方案一的购票费用为：200.7=14.选择方案二的购票费用为：200.8=16-96.令14=16-96，解得=48.所以，当40＜＜48时，选方案二更优惠；当=48时，选方案一或方案二，一样优惠；当＞48时，选方案一更优惠.

【点评】以本例为例，在未学习不等式知识的条件下，方案选择问题的一般处理思路是，先列方程找到一样优惠的人数，再根据特例情况，分析在不同的范围里如何选择方案.

方案选择问题（1）

某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。

1. 若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。

2. 若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解析：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

第一问：

①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=300

2x=50，x=25

50-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，可得方程

1500x+2500（50-x）=90000

 3x+5（50-x）=180，x=35

50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台，可得方程

2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台。

第二问：若选择（1）中的方案①，可获利

150×25+200×25=8750（元）

若选择（1）中的方案②，可获利

150×35+250×15=9000（元）

9000>8750       

故为了获利最多，选择第二种方案。

【方法突破】

这类问题根据题意分别列出不同的方案的代数式，再通过计算比较结果，即可得到满足题意的方案，需要注意的是要留意题目中的方案要求，常见的是要求利润最大，但是有时也有要求消库存最多或者最节约成本，要注意审题，不可犯惯性错误。

方案选择问题（2）

某班准备购置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格，下面是小明、小强和李老师的对话。

小明：甲商店乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球。小强：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样，但乙商店可以全部按定价的九折优惠。

李老师：我们班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒。

根据以上对话回答下列问题：1. 当购置的乒乓球为多少盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多？2. 若需要购置30盒乒乓球，你认为到哪家商店购买更合算？

解析：第一问根据题意可设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，列出一元一次方程解答即可。第二问求出当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店各需要多少元，据此即可解答。

1. 设当购买乒乓球x盒时

甲店：30×5+5×（x-5）=5x+125

乙店：90%（30×5+5x）=4.5x+135，

由题意可知：5x+125=4.5x+135，解得：x=20

即当购买乒乓球20盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多．

2. 当购买30盒乒乓球时

去甲店购买要5×30+125=275（元）

去乙店购买要4.5×30+135=270（元）

所以去乙店购买合算。

【方法突破】

解决最佳选择问题的一般步骤：

1. 运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；

2. 用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论。

16.日历问题

探索日历问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题

知识精讲

月历的规律：1.每行数字从左至右依次增加1；2.每列数字从上至下依次增加7；3.每个数字均是1至31的正整数.

典例分析

【例】如图是某月的月历，用带阴影的方框任意框九个数

(1)图中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？为什么？(2)若这9个数之和是81，你能说出这9个日期吗？若能，直接说出9个日期． 若不能，请说明理由？(3)这9个数之和可能会是100吗？如果可能，请计算出这9个日期，如果不可能，请说明理由？

【解】(1)9个数之和是方框正中心数的9倍．设正中心的数为，则其他数如下表格：

∴(-8)+(-7)+(-6)+(-1)++(+1)+(+6)+(+7)+(+8)=9．故结论正确；

(2)设正中心的数为，依题意：9=81，解方程得：=9，所以这9个日期分别为1，2，3，8，9，10，15，16，17，所以能说出这9个日期；

(3)解：不可能，设中心的数为，则列方程为9=100，解得=，不是整数，所以不可能．

【点评】根据月历的数字规律，设出未知数，并列出一元一次方程，是解题的关键.

一元一次方程是数学中的基本概念，也是解决实际问题的有力工具。学好一元一次方程不仅能够帮助我们解决生活中的问题，还能提升我们的数学素养。下面将介绍几个方面，帮助你学好一元一次方程。

1. 理解一元一次方程的概念

一元一次方程是一个包含未知数和常数的等式，并且未知数的次数为1。理解这个定义能够帮助你正确地使用一元一次方程解决实际问题。

2. 掌握一元一次方程的解法

学习一元一次方程的关键是掌握解方程的方法。基本的解方程方法包括代入法、加减法和移项法。通过练习解方程，你可以提高解决实际问题的能力。在解方程的过程中，要记住一些基本的公式和定理，比如等式的性质、移项法则和合并同类项法则等。

3. 熟悉一元一次方程的应用

学习一元一次方程不仅仅是记住公式和步骤，还需要了解它的应用。一元一次方程可以应用于各种实际问题，比如行程问题、工作问题、时间问题等。通过熟悉这些应用，你可以更好地理解一元一次方程的意义和重要性。

4. 练习一元一次方程的解题技巧

练习是学好一元一次方程的重要步骤。通过大量的练习，你可以掌握解方程的技巧和方法，提高解题的速度和准确性。在练习过程中，要注重思考和总结，发现自己的不足之处，及时进行改进。

5. 总结一元一次方程的学习方法

在学习一元一次方程的过程中，要不断总结自己的学习方法。你可以回顾自己学过的知识点，总结解题思路和方法，形成自己的学习体系。同时，你也可以向老师或同学请教，交流学习心得和经验，共同进步。

6. 学习一元一次方程的注意事项

在学习一元一次方程时，要注意以下几点：首先，要认真听课，理解老师讲解的内容；其次，要认真完成作业，及时巩固所学的知识；最后，要积极思考和探索，发现问题的本质和规律。同时，你还要注意一些常见的错误和难点，比如移项时符号的处理、合并同类项时项的合并等。掌握这些注意事项能够帮助你更好地学好一元一次方程。

7. 掌握一元一次方程的解题步骤

学习一元一次方程需要掌握正确的解题步骤。首先，要认真审题，了解题目的已知条件和要求；其次，要尝试用不同的方法解方程，选择最合适的方法；最后，要仔细检查答案的正确性，确保没有错误和遗漏。通过掌握这些解题步骤，你可以更好地解决一元一次方程问题。

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