第十届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学专业类)

一、填空题(本题30分,每小题6分,共5小题)

(1) 设函数  在  处连续,则  的值为______。

(2) 设  ,则 ______。

(3) 设曲线  是空间区域  的表面与平面  的交线,则 ______。

(4) 设函数  由方程  确定,其中  具有连续二阶偏导数,则 ______(或其他等价形式)。

(5) 已知二次型  ,则  的规范形为______。

二、(本题12分)

设  在区间  内三阶连续可导,满足  ,  ,  , 。又设数列  满足  ,  ,且  严格单调减少且 。计算 。

三、(本题12分)

设  在  上具有连续导数,且  ,  , 。证明:对于  ,有 。

四、(本题12分)

计算三重积分:  ,其中 。

五、(本题12分)

求级数  的和。

六、(本题11分)

设  是  阶幂零矩阵,即满足 。证明:若  的秩为  ,且  ,则存在  阶可逆矩阵  ,使得  ,其中  为  阶单位矩阵。

七、(本题11分)

设  为单调递减的正实数列,  ,  为一实数列,级数  收敛,证明: 。

第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考解答(非数学专业类)

一、参考解析

(1) 因为函数  在点  处连续,所以 。显然,欲使极限  存在,必有 。再利用等价无穷小替换,得， 所以  ,得 。因此 。

(2) 令  ,则， 其中作代换  ,  ,故 。因此,得 。

(3) 利用Stokes公式。选取平面  上被折线  所包围的部分  的上侧法向量为  ,方向余弦为  ,所以。

(4) 对方程  两边求偏导数,得  ,  ,解得  ,  ,所以:。

(5) 二次型的矩阵为， 易知  的特征多项式为  ,故  的特征值为  ( 重), 。因此,二次型的规范形为 。

二、参考解析

由于  在区间  内三阶可导,  在  处有Taylor公式， 又  ,  ,  ,  ,所以 。 由于  ,数列  严格单调且  ,则  ,且  为严格单调增加趋于正无穷的数列。注意到  ,故由Stolz定理及上式,有。

三、参考证明

令  ,则  ,故函数  在  上严格单调增加。记  的反函数为  ,则  定义在  上,且， 所以 。 根据积分中值定理,存在  ,使得。 所以。 注意到 $0

四、参考解析

采用“先二后一”法,并利用对称性,得  ,其中 。 用极坐标计算二重积分,得， 交换积分次序,得。 作变量代换  ,并利用对称性,得， 所以 。

五、参考解析

级数通项。 令  ,收敛区间  ,则 。 ,其中 。 因为， 所以  满足  , 。 解微分方程,得， 由  得  ,故 。 进而  ,故  ,且。

六、参考证明

依题意存在  阶可逆矩阵  ,使得 。 因为  ,所以有， 对  作相应分块为  ,其中  为  阶方阵,则， 故  ,即  ,所以 。 因此， 显然,  ,所以  为  行满秩矩阵。 因为  ,所以  ,存在可逆矩阵  (  阶),  (  阶),使得 。 令  ,则。

七、参考证明

由于  收敛,所以对任意给定  ,存在自然数  ,使得当  时,有。 因为  是单调递减的正数列,所以 。 记  ,则 。 由阿贝尔引理,若  ,  ,则 。 令  ,则对  应用阿贝尔引理，得

即 。

又由  知，存在自然数 ，使  时，。

取 ，则当  时，有

因此 。