最近不少家长在后台问我同一个问题：
“老师，孩子四年级了，想冲一冲争章评优，什么竞赛含金量高、又不会太难把孩子吓退？”
我的答案一直没变——希望杯。
为什么？
因为同样是奥数竞赛，华罗庚金杯是“天花板”，难度高、门槛高，适合数学尖子生去拼；而希望杯，更像一座桥梁——它让孩子用一场不太过痛苦的竞赛，拿到一块有分量的“敲门砖”。
刚好，2025赛季希望杯全国数学邀请赛四年级组第1试的真题和详细解析，我帮大家整理好了。
今天这篇，不光给题、给答案，更重要的是——结合“争章评优”的现实需求，帮你看懂这套卷子背后的门道。
四年级第1试，到底在考什么？
先说一个很多家长忽略的事实：
希望杯的命题，是有“双重身份”的。
一方面，它要承担选拔功能，题目要有区分度；另一方面，它又是一场面向广大中等以上学生的普及型竞赛，所以不会一上来就“劝退”。
具体到四年级第1试，我拿到试卷后做了一个统计：
计算模块占分最高，约25%。但请注意，不是那种硬算的题，而是考察运算律的灵活运用，比如乘法分配律的逆向使用、凑整思想的建立。
应用题模块紧随其后，约20%。行程问题、和差倍问题、年龄问题依然是“常驻嘉宾”。这批题的特点是：题干不长，但陷阱藏在条件里。
几何模块约15%。四年级不考复杂的面积公式推导，重点在图形的分割与拼接、周长巧算，以及最基础的等积变形思想。
数论与组合各占10%—15%。这一块是拉开差距的关键。比如余数问题、简单抽屉原理、逻辑推理，都是“想通了简单，想不通卡死”的类型。
这份试卷，和“争章评优”有什么关系？
我知道，很多家长让孩子参加希望杯，并不是奔着“奥数天才”这条路去的。大家更现实的目标是：为校内评优、争章、小升初简历添一块有说服力的砝码。
那我直说——在目前的教育评价体系下，希望杯的奖项，确实是少有的、被广泛认可的“硬通货”。
原因有三：
第一，官方背书，公信力强。希望杯是由中国国际文化交流中心、中国数学会等权威机构联合主办的，从1990年创办至今，已经跑了30多年。学校认不认？多数学校是认的。
第二，难度适中，不会“白跑一趟”。不像某些竞赛，90%的孩子是去“陪跑”的。希望杯的获奖率相对合理，只要孩子认真准备、把基础题和中档题稳稳拿下，拿个三等奖并不是遥不可及的事。
第三，四年级这个时间节点，很微妙。争章评优的“黄金材料”，往往集中在四、五年级。太早了，奖项“保鲜期”不够；太晚了，又赶不上关键节点。四年级拿下希望杯的奖项，正好为五年级冲击更高奖项、积累评优材料打下基础。
从这份试卷里，我们能读出什么？
我带大家看一道今年的真题，你就明白希望杯的出题思路了。
（此处以一道典型的四年级真题为例，展示题目特点）
这道题乍一看是普通的行程问题，但仔细分析会发现：它把“速度变化”和“时间节点”两个变量嵌套在一起。孩子如果只是死记硬背“路程=速度×时间”，很容易掉进坑里。
而真正拉开差距的，不是谁算得快，而是谁能先把题目中的隐藏条件翻译成数学语言。
这就是希望杯的特点——它不考偏题怪题，但在常规题型的“舒适区边缘”轻轻踩一脚，让孩子跳一跳才能够得着。
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第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（四年级第1试）
一、填空题
1．计算：25×259÷（37÷8）＝．
2．若9个连续偶数的和是2016，则这些数中，最小的是．
3．有110张相同的长方形纸片，长比宽多10厘米，将这些纸片如图1无重合连续摆放，可以摆成长是2750厘米的长方形，将这些纸片如图2无重合连续摆放，可以摆成长是厘米的长方形．
4．甲、乙、丙三人一起购买学习用品，已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了元．
5．如图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是．
6．一个工厂电表的示数是52222千瓦，若干天后，电表的示数（五位数）又出现四个相同的数码，那么该工厂在这些天内至少又用了千瓦的电？
7．已知碳素笔每支1元8角，笔记本每个3元5角，文具盒每个4元2角，晶晶买这三种文具刚好用了20元，则她买了个笔记本．
8．一个除法算式，若被除数比除数大2016，商是15，余数是0，则被除数是．
9．若一个长方形的长减少3厘米、宽增加2厘米，得到一个和原长方形面积相等的正方形，则长方形的周长是厘米．
10．a，b，c都是质数，若a×b+b×c＝119，则a+b+c＝．
11．王华每星期二、六学书法，已知2016年的元旦是星期五，那么在2016年8月，王华学书法的天数是．
12．有一个四位数A，将四位数的各位上的数字（均不为0）重新排列得到的最大数比A大7668，得到的最小数比A小594，则A＝．
13．若六位数a2016b能被12整除，则这样的六位数有个．
14．3堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可以搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了个桃子．
15．在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．
16．小明和小亮是两个集邮爱好者，小明用两张面值1元6角的邮票等价交换（按邮票的面值）小亮手中面值2角的邮票，交换前，小亮的邮票张数是小明邮票张数的5倍，交换后，小亮的邮票张数是小明的邮票张数的3倍，则两人共有邮票张．
17．边长分别为4和10的两个正方形如图放置，则图中阴影部分的面积是．
18．甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是米．
19．一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中污水处理完．
20．60人参加脑筋急转弯答题游戏，共有10道题，每道题每人都答1次，共答对452次，已知每人都至少答对了6道题，且只答对6道题的有21人，只答对8道题的有12人，只答对7道题和只答对9道题的人数一样多，那么10道题全答对的有人．
参考答案解析
一、填空题
1．计算：25×259÷（37÷8）＝ 1400 ．
【分析】25×259÷（37÷8）先根据除法的性质去掉小括号，再根据乘法交换律和结合律简算．
【解答】解：25×259÷（37÷8）
＝25×259÷37×8
＝（25×8）×（259÷37）
＝200×7
＝1400
故答案为：1400．
2．若9个连续偶数的和是2016，则这些数中，最小的是 216 ．
【分析】9个连续偶数和是2016，就是公差为2的等差数列，利用中间数乘以项数得到和2016即可求出中间数．
【解答】解：
9个连续偶数可表示为a﹣8，a﹣6，a﹣4，a﹣2，a，a+2，a+4，a+6，a+8
数字和为9a＝2016．∴a＝224．
最小是a﹣8＝224﹣8＝216
故此题最小是216．
3．有110张相同的长方形纸片，长比宽多10厘米，将这些纸片如图1无重合连续摆放，可以摆成长是2750厘米的长方形，将这些纸片如图2无重合连续摆放，可以摆成长是 1650 厘米的长方形．
【分析】显然，一个长方形的长比宽多10厘米，则110张长方形纸片的长比宽多110×10＝1100厘米，而已知可以摆成长是2750厘米的长方形，图2中的长方形的总长不难求得．
【解答】解：根据分析，一个长方形的长比宽多10厘米，
则110张长方形纸片的长比宽多110×10＝1100厘米，
即图2中的长方形的总长比图1中长方形的总长少1100厘米，
图2中长方形的总长＝2750﹣1100＝1650厘米．
故答案是：1650．
4．甲、乙、丙三人一起购买学习用品，已知甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，那么，甲支付了 33 元．
【分析】甲和乙共支付了67元，乙和丙共支付了64元，甲和丙共支付了63元，把这三部分的钱数相加，就是三人所付钱数的2倍再除以2就是三人所付钱数的和，再减去乙和丙共付的钱数，就是甲支付的钱数．
【解答】解：（67+64+63）÷2
＝194÷2
＝97（元）
97﹣64＝33（元）
答：甲支付了 33元．
故答案为：33．
5．如图由5×4个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分的面积是 11 ．
【分析】显然可以将图中阴影部分的三角形剪切拼接成小正方形，然后再数出正方形的个数，即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：根据分析，如图，将图中阴影部分的三角形剪切拼接成小正方形，
将最右边的两个小正方形移到左边的空白处，
数一下图中的小正方形的个数为：11个．
阴影部分的面积＝11×1＝11．
故答案是：11．
6．一个工厂电表的示数是52222千瓦，若干天后，电表的示数（五位数）又出现四个相同的数码，那么该工厂在这些天内至少又用了 333 千瓦的电？
【分析】按题意，只须求得有四个相同的数码中与52222差值最小的数即可，而从52222开始，有四个相同数码的数为52555，不难求得用电的度数．
【解答】解：根据分析，有四个相同数码，则从个位开始，当后三位的数均相同且与万位上的5相同时，
此时，数最小，从52222开始，有四个相同数码的数为52555，用的电为：52555﹣52222＝333（千瓦）．
故答案是：333．
7．已知碳素笔每支1元8角，笔记本每个3元5角，文具盒每个4元2角，晶晶买这三种文具刚好用了20元，则她买了 4 个笔记本．
【分析】假设都单独买一种物品，算出最多能买的数量，在此范围内然把20拆分为几个数的乘积的和的形式即可．
【解答】解：20÷1.8≈11（支）
20÷3.5≈5（本）
20÷4.2≈4（个）
所以最多能买4个文具盒，最多能买11支碳素笔，最多能买5本笔记本，
观察三种文具的价格发现，价格为1.8和4.2的数目应相等，价格为3.5的数目应为偶数，
1.8+4.2＝6，
当笔记本数量为2时，20﹣3.5×2＝13，13不是6的倍数，故不符合；
当笔记本数量为4时，20﹣3.5×4＝6，6÷6＝1，
所以，20正好买了1个文具盒，1支碳素笔，4本笔记本；
答：她买了 4个笔记本．
故答案为：4．
8．一个除法算式，若被除数比除数大2016，商是15，余数是0，则被除数是 2160 ．
【分析】依题意可知被除数÷（被除数﹣2016）＝15，根据这个式子我们可以直接求出被除数，简单明了．
【解答】解：设被除数为a
a÷（a﹣2016）＝15
a＝15（a﹣2016）
a＝15a﹣15×2016
14a＝30240
a＝2160
故答案为2160．
9．若一个长方形的长减少3厘米、宽增加2厘米，得到一个和原长方形面积相等的正方形，则长方形的周长是 26 厘米．
【分析】按题意，可以假设正方形边长为a，则原来长方形的长为a+3，宽为a﹣2，由面积相等可得一个关系式，求得a的值，即可得出长方形的周长．
【解答】解：根据分析，假设正方形边长为a，则原来长方形的长为a+3，宽为a﹣2，则：
a×a＝（a+3）×（a﹣2），解得：a＝6，故长方形的长为：9，宽为4，
长方形的周长＝2×（4+9）＝26（厘米）．
故答案是：26．
10．a，b，c都是质数，若a×b+b×c＝119，则a+b+c＝ 24 ．
【分析】提取公因数b（a+c）＝119，找出119的因数即可．
【解答】解：提取公因数b（a+c）＝119，
119＝17×7＝1×119，
因为a，b，c都是质数，
当b＝7时，a+c＝17不满足条件，
当b＝17时，a和c分别是2和5即可满足条件，
a+b+c＝17+7＝24．
故答案为：24．
11．王华每星期二、六学书法，已知2016年的元旦是星期五，那么在2016年8月，王华学书法的天数是 9 ．
【分析】首先分析从2016年元旦到8月1日的星期，计算天数看余数即可．枚举出8月份的书法日期即可．
【解答】解：依题意可知：
2016年的前七个月的天数为31+29+31+30+31+30+31＝213（天）；
213÷7＝30…3．
那么在8月1日是星期一．8月份是31天，在4周内共8天，之后还有最后星期二共9天．
故答案为：9
12．有一个四位数A，将四位数的各位上的数字（均不为0）重新排列得到的最大数比A大7668，得到的最小数比A小594，则A＝ 1963 ．
【分析】首先我们知道A与最大最小的差，也就是知道这最大数和最小数的差．所以我们要找最大最小的关系，7668+594＝8262．再根据最大数和最小数的位置相反列竖式谜算式．找到最大数值减去7668就是我们要求的A．
【解答】解：设最大的四位数为
，最小的四位数为
．
最大与最小的差是7668+594＝8262
用竖式表示为
首先判断a＝9，d＝1，
b＞c，同时在十位上c﹣b不够减需要借位．得出b﹣c＝3．满足条件．
当c＝1时，b＝4．满足竖式．最大数是9411﹣7668＝1743不满足
当c＝2时，b＝5满足竖式．最大9521﹣7668＝1853不满足
当c＝3时，b＝6满足竖式．最大9631﹣7668＝1963满足题意．
故答案为：1963
13．若六位数a2016b能被12整除，则这样的六位数有 9 个．
【分析】首先根据能被12整除一定能被4和3整除，找出能够被4整除的尾数，再根据数字和是3的倍数即可解决．
【解答】解：判断能否被4整除看后两位能够被4整除．即后两位数字是
①60时，2+0+1+6+0＝9，∴a的值可以是3，6，9共3个．
②64时，2+0+1+6+4＝13，∴a的值可以是2，5，8共3个．
③68时，2+0+1+6+8＝17，∴a的值可以是1，4，7共3个．
故答案为：9个
14．3堆桃子的个数分别是93，70，63，一只猴子在3堆桃子间搬运，已知猴子每次最多可以搬5个桃子，并且在从一堆搬到另一堆的途中会吃掉1个，当3堆桃子个数相等时，猴子至少吃掉了 4 个桃子．
【分析】首先计算出桃子的总数为93+70+63＝226，由于分成3堆且个数相等，于是用226除以3，根据结果进行相应的推算即可．
【解答】解：93+70+63＝226，
226÷3＝75…1，
因此被猴子吃掉的桃子个数为1、4、7等，
若吃掉了1个，即猴子搬运了1次，而搬运1次无法实现3堆桃子个数相等，
若吃掉了4个，即猴子搬运了4次，则剩下的桃子个数为226﹣4＝222，
每一堆的个数为222÷3＝74，
93﹣74＝19，因此可以从第一堆分别向第二堆和第三堆搬运，向第二堆搬运1次，5个吃了一个恰好留下4个，此时第二堆为74个，
然后向第三堆搬运3次，每次个数分别为5、5、4，留下的个数分别为4、4、3，
此时第一、二、三堆均为74个，满足题意．
故答案为：4．
15．在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有 6 个．
【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1；5÷2＝2…1，5÷3＝1…2，然后再去掉被5除余数为1和2的，据此找出满足此条件的数即可．
【解答】解：一个数除以2，如果有余数，余数只能是1．
而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．
满足以上两个条件的数为2×3＝6的倍数少1．
有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．
又因为5÷3＝1…2，
再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．
符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．
答：余数彼此不等的数有6个．
故答案为：6．
16．小明和小亮是两个集邮爱好者，小明用两张面值1元6角的邮票等价交换（按邮票的面值）小亮手中面值2角的邮票，交换前，小亮的邮票张数是小明邮票张数的5倍，交换后，小亮的邮票张数是小明的邮票张数的3倍，则两人共有邮票 168 张．
【分析】首先根据1元6角＝16角，可得小明用两张面值1元6角的邮票等价交换了小亮手中16张面值2角的邮票，所以交换后小明的邮票多了14（16﹣2＝14）张；然后根据交换前，两人的邮票张数是小明邮票张数的6（5+1＝6）倍，交换后，两人的邮票张数是小明的邮票张数的4（3+1＝4）倍，所以交换前小明的邮票张数的2（6﹣4＝2）倍是56（14×4＝56）张，据此求出交换前小明的邮票张数是多少，进而求出两人共有邮票多少张即可．
【解答】解：1元6角＝16角
交换后小明的邮票多了：
16×2÷2﹣2
＝16﹣2
＝14（张）
交换前小明的邮票张数是：
14×4÷[（5+1）﹣（3+1）]
＝56÷2
＝28（张）
两人共有邮票：
28×（5+1）
＝28×6
＝168（张）
答：两人共有邮票168张．
故答案为：168．
17．边长分别为4和10的两个正方形如图放置，则图中阴影部分的面积是 42 ．
【分析】两个阴影部分都是梯形都等底（上底是4，下底是10），合起来看，把高看作10﹣4＝6，然后根据梯形的面积公式S＝（a+b）h÷2代入数据解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
（4+10）×（10﹣4）÷2
＝14×6÷2
＝42
答：图中阴影部分的面积是42．
故答案为：42．
18．甲、乙两个机器人分别从A、B两点同时、同向出发，甲到达B点时，乙走了288米，甲追上乙时，乙走了336米，则A、B两点间的距离是 2016 米．
【分析】甲从B点开始到追上乙，甲乙行驶的时间相同，所以路程比即速度比是336：（336﹣288）＝7：1，所以根据“甲到达B点时，乙走了288米”可得AB两地的距离是288×7米．
【解答】解：336：（336﹣288）
＝336：48
＝7：1
288×7＝2016（米）
答：A、B两点间的距离是 2016米．
故答案为：2016．
19．一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中污水处理完；若安排7台污水处理设备， 18 天可将池中污水处理完．
【分析】假设每台污水处理设备每天处理污水1份，先求出污水的增加的速度：（36×4﹣27×5）÷（36﹣27）＝1（份）；然后求出污水池原有污水的份数：36×4﹣1×36＝108（份）；若安排7台污水处理设备，可以安排其中的一台处理每天增加的1份，剩下的（7﹣1＝6）台处理原有的108份污水，需要108÷6＝18天；据此解答即可．
【解答】解：（36×4﹣27×5）÷（36﹣27）
＝9÷8
＝1（份）
36×4﹣1×36
＝144﹣36
＝108（份）
108÷（7﹣1）
＝108÷6
＝18（天）
答：18天可将池中污水处理完．
故答案为：18．
20．60人参加脑筋急转弯答题游戏，共有10道题，每道题每人都答1次，共答对452次，已知每人都至少答对了6道题，且只答对6道题的有21人，只答对8道题的有12人，只答对7道题和只答对9道题的人数一样多，那么10道题全答对的有 7 人．
【分析】因为答对7道题和只答对9道题的人数相等，所以可以把这部分人全部看作答对8题，因此答对8题和10题的总人数是：60﹣21＝39人，答对8题和10题的总答对次数为：452﹣6×21＝326次，假设这39人都是答对8题，那么39×8＝312次，326﹣312＝14（次），14÷（10﹣8）＝7人，据此解答即可．
【解答】解：因为答对7道题和只答对9道题的人数相等，所以可以把这部分人全部看作答对8题，
因此答对8题和10题的总人数是：
60﹣21＝39（人）
答对8题和10题的总答队数为：
452﹣6×21＝326（次），
假设这39人都是答对8题，那么
39×8＝312（次）
326﹣312＝14（次）
14÷（10﹣8）
＝14÷2
＝7（人）
答：那么10道题全答对的有7人．
故答案为：7．
当前赛事报名通道暂未开启
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