2024北京真题——不变量好题

发现北京新定义问题确实很喜欢考察竞赛中的组合知识点。今天分享一道不变量好题。

2024北京高考数学压轴题

已知集合 。给定数列  和序列 ，其中  ()，对数列  进行如下变换：将  的第  项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 ；将  的第  项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 ；；以此类推，得到数列 ，简记为 。

（1）给定数列  和序列 ，写出 ；

（2）是否存在序列 ，使得  为 ？若存在，写出一个 ，若不存在，请说明理由；

（3）若数列  的各项均为正整数，且  为偶数，求证：“存在序列 ，使得  的各项都相等”的充要条件为“”。

详细解析

1). （1）

（2）由于  和  增量和为 8， 和  增量和为 6， 而每次操作  增量和相同，故不存在。

（3）一方面若  均相等，设均为 ，则由（2）的分析：.

下证若  且  为偶数，则  使  各项相等。

令 ，每次  变化 。 且由于每次操作满足  为偶数 。

又由 ，。。

记 ，注意到每次操作只会使  其中一个分量 ， 故经过  次操作后 。