(7)2025年中考浙江省
义乌市二模数学第24题
如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为
线段AC上的一个动点(不与A, C重合)，
作点C关于BP的对称点D，连结BD，
PD，⊙O是△BCP的外接圆并分别交BD,
AB于点E, F，连结PE, PF .
图1
(1）判断△DEP是否为等腰三角形，
并说明理由，
(2）证明： AP·BD=AC·BE ，
(3）连结OB，若点E为线段BD的三等份
点，且BC=6, tan∠C=5/3，
求 tan∠OBC的值．
【解析】(1)△DEP为等腰三角形，
证明：由翻折得
∠C=∠D ，
由圆内接四边形性质得
∠C=∠DEP ，
∴∠DEP=∠D，
∴ PD=PE ，
∴△DEP为等腰三角形；
(2）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠AFP ，
∴∠ABC=∠AFP ，
∴FP//BC ，
∴AP/AC=FP/BC ，
BF=CP，
又∵CP=DP=EP ，
∴ BF=EP ，
∴ BE=PF ，
又∵ BD=BC ，
∴由AP/AC=FP/BC
得 AP/AC=BE/BD，
即 AP·BD=AC·BE ；
(3）①如图2，作PQ⊥BC于点Q，
作AH⊥BC于点H，交PF于点M，
图2
∵PF//BC，
∴AH⊥PF，
当DE/BE＝2时，
由②得
AP/AC=BE/BD=1/3，
由②得
PF/BC=AP/AC=1/3，
∴ PF=2,
FM=1/2PF=1，
由tan∠C=5/3，
得 AH=5，
∵AH⊥BC，PQ⊥BC，
∴AH//PQ，
∴PQ/AH=PC/AC=2/3，
得 PQ=MH=10/3，
设 OH=x ，
在 Rt△FMO和Rt△BHO中，
由勾股定理得
1²+(10/3-x)²=3²+x²，
解得 x=7/15，
∴ tan∠OBC=7/45，
②如图3，
当DE/BE＝1/2时，
同样可得
PF/BC=2/3，
图3
∴ PF=4, MP=2，
MH=PQ
=AH/3
=5/3，
设 OH=x ，
在Rt△PMO和Rt△CHO中，
由勾股定理得
2²+(x+5/3)²=3²+x²，
解得 x=2/3，
∴tan∠OBC=tm∠OCH=2/9，
综上所述，tan∠OBC的值为
7/45或2/9 .
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