[真题] JLU 抽象代数II 2025秋 期末考试 试题+解答.

试题部分.

一、定义题

1.叙述正规扩张的定义.

2.叙述可分扩张的定义.

3.叙述Galois扩张的定义; 写出分圆多项式  的Galois群,并给出其对应的同构类型.

二、判断题

4.若  为正规扩张,  为正规扩张,则  必为正规扩张.

5.若  是可分扩张,  是可分扩张,则  必为可分扩张.

6.设  为150600阶交换群, 则其50阶子群的个数等于其3012阶子群的个数.

7.设  有两个中间域 .定义  的复合域为含  的  的最小子域 (记为 ),则有 .

8.设  为  上无限维向量空间,假设 (作为集合的基数相同), 则  的维数(Hamel 基意义下)一定相同.

三、计算题

9.________.

10.________.

11.________.

12.________.

13.________.

14.设  为  上的6维向量空间,  为  的一个3维子空间,取定  的一个1维子空间 ,则  中与  的交恰好为  的子空间(即满足  的子空间 )的个数为________.

四、证明题

15.证明Thompson引理: 设  为偶阶群, ,  是  中阶数为2的子群.  是  中2阶元,试证明: 或者存在  使得  或者 .

16.设  为代数扩张,  为  对  的自同态(即保持  中元素不动),证明  是  对  的自同构.

17.请直接写出  的Galois群,并画出其全体子群与不变域的对应关系图.

五、简答题

18.设  为域扩张,有中间域 . 已知  均为代数扩张,且  为单扩张. 若  的根全在  中,试证明: .

19.设  为  上的  次不可约多项式,令  .试证明:  整除 

20.证明Mann定理: 设  是有限群,  的全体素因子构成的集合为 .假设不存在  的正规幂零子群  使得 . 再设  皆是  的极大系化零子群,对任意 , 设  分别是  中唯一的 Sylow  子群,试证明:对任意 ,存在  使得  且 .

六、材料与选做题(任选其一)

21.尤承业《基础拓扑学》书中对于”Hausdorff 空间中紧集是闭集”的证明如下:

, 则 .  是 Hausdorff 空间, 因而  和  有不相交的开邻域  和  (它们都随  而改变).  构成  在  中的开覆盖, 有子覆盖 . 记 , 则它们都是开集 ( 是开集仰仗于"有限"), 并且分别是  和  的邻域. 因为 , 所以 .  即为所求.

是否用到了选择公理? 如果用到了, 请指出其在哪一步, 可否改进这个证明, 使得不强行用到选择公理?

22.请直接写出课上讲过的与选择公理等价的命题(写出三个).

23.关于单群与子群结构:

(1)  是否有21阶极大子群?

(2) 请举出有限单群中”同阶但不同构”的例子(不须证明).

解答部分.

一、定义题

1.叙述正规扩张的定义.

解. 设  是一个代数扩张, 若对任一中至少含有一个根的不可约多项式, 它在 中都能完全分解为一次因式的乘积(即的所有根全都落在中), 那么称是的正规扩张.

2.叙述可分扩张的定义.

解. 设  是一个代数扩张, 若对任一,  在基域  上的极小多项式  都是可分多项式(即  在其分裂域中没有重根), 那么称  是  的可分扩张.

3.叙述Galois扩张的定义; 写出分圆多项式  的Galois群,并给出其对应的同构类型.

解. Galois扩张定义为即为正规扩张, 又为可分扩张的域扩张. 针对后者, .

二、判断题

4.若  为正规扩张,  为正规扩张,则  必为正规扩张.

解. 错误. 为正规扩张, 为正规扩张, 但是不为正规扩张.

5.若  是可分扩张,  是可分扩张,则  必为可分扩张.

解. 正确. Galois定理告诉了我们命题成立.

6.设  为150600阶交换群, 则其50阶子群的个数等于其3012阶子群的个数.

解. 正确. 有限群的Pontryagin对偶性.

7.设  有两个中间域 .定义  的复合域为含  的  的最小子域 (记为 ),则有 .

解. 错误. 考虑, , 则, , 此时, 此时, .

8.设  为  上无限维向量空间,假设 (作为集合的基数相同), 则  的维数(Hamel 基意义下)一定相同.

解. 正确. , , 从而.

三、计算题

9.________.

解. . .

10.________.

解. . .

11.________.

解. . .

12.________.

解. . .

13.________.

解. . .

14.设  为  上的6维向量空间,  为  的一个3维子空间,取定  的一个1维子空间 ,则  中与  的交恰好为  的子空间(即满足  的子空间 )的个数为________.

解. . 题目即. 下面根据的维数进行讨论. 维数公式告诉我们.

Case 1. , 则此时只能, 共种.

Case 2. , 则在外仍然有一向量作为基, 其可能取值种数为种.

Case 3. , 则在外仍然有两向量作为基, 其可能取值种数为种.

Case 4. , 则在外仍然有两向量作为基, 其可能取值种数为种.

综上所述, 总子空间个数为

四、证明题

15.证明Thompson引理: 设  为偶阶群, ,  是  中阶数为2的子群.  是  中2阶元,试证明: 或者存在  使得  或者 .

证明. 令 . 则  自然地依右乘作用在  关于  的右商集  上

不难验证上述规定确系群作用. 上述作用决定了从群  到  的全变换群  (通常也记作 ) 的一个群同态

设 ，其中  是正整数，  是奇数. 则 ， ， . 我们考虑  元集合  的置换 .

我们知道，对任一 ，  是  的一个不动点当且仅当 ，当且仅当 ，当且仅当 . 故  有不动点当且仅当存在 ，使得 .

下面假设  元集合  的置换  无不动点. 注意到 . 故  是  阶元 (对合). 事实上，  是无不动点的  阶元 (对合). 我们将  元集合  的置换  分解成 (有限个) 互不相交的轮换的乘积. 则  是  个互不相交的对换的乘积. 由  是奇数，即知  (作为  元集合  的置换) 是奇置换! 进而  (作为  元集合  的置换群) 中的全体偶置换构成的集合成为  的指数为  的 (自然是正规的) 子群. 特别地,  中存在不含  且指数为  的 (自然是正规的) 子群. 由群同态基本定理,  诱导群同构 . 进而  中存在 (前提是包含  的) 不含  且指数为  的 (自然是正规的) 子群 . 由  是  阶群, 当然是交换群, 即知 . 再结合 ，即知 . 在已证明  (作为  元集合  的置换) 是奇置换的前提下, 我们亦可用如下方法证明 . 我们知道，  是  中的全体换位子生成的子群，亦即 . 而对任意的 ，我们有  是偶置换. 从而  (作为  元集合  的置换群) 中的全体元素都是偶置换. 而  是奇置换. 故 . 进而 .

综上所述，我们证明了，当  元集合  的置换  有不动点时，存在 ，使得 ; 当  无不动点时， .

16.设  为代数扩张,  为  对  的自同态(即保持  中元素不动),证明  是  对  的自同构.

证明. 首先不难看出  的 -同态等价于  的 -嵌入. 故为证明  是  的 -同构，只需证明  是满射. 任意取定 . 令  为  在  中的全体根构成的集合. 不难看出  保持  不变，进而  将  在  中的任一根仍变为  在  中的某一根. 换言之， . 注意到  是单射且  是非空有限集合. 进而  在非空有限集合  上的限制  是单射. 故  是满射. 特别地，存在 ，使得 . 由  的任意性，即知  是满射.

17.请直接写出  的Galois群,并画出其全体子群与不变域的对应关系图.

证明. 设  是  在  上的 (在  中的) 一个分裂域. 则  是  上的 Galois 扩张且 .

设  满足 ，  满足 . 则 . 故  (这里的  是指正方形的对称群:  阶二面体群). 比较阶，即知 .

进而  的全体子群为 , , , , , , , , , ,

相应的不动域分别为 , , , , , , , , , .

五、简答题

18.设  为域扩张,有中间域 . 已知  均为代数扩张,且  为单扩张. 若  的根全在  中,试证明: .

证明. 由, 从而由包含关系和极小性易知. 此时设为中的极小多项式, 则. 断言且不可约, 这样我们就证得了结论. 不可约是显然的, 因为, 因而只需证明前面的断言. 由于, 故只需证明, 等价于的各项系数属于. 而这只需注意到条件, 的根均在中, 由于扩域的根整除关系, 所有根亦落在中. 从而由Vieta定理即得结论.

19.设  为  上的  次不可约多项式,令  .试证明:  整除 

证明. 考虑上, 的分裂域为的一个子域. 对于元素为分裂域中的一根, Frobenius同构告诉我们所有根形如. 由根式定理, 只需验证. Vieta定理告诉我们, 计算所有的元素乘积, 立得结论.

20.证明Mann定理: 设  是有限群,  的全体素因子构成的集合为 .假设不存在  的正规幂零子群  使得 . 再设  皆是  的极大系化零子群,对任意 , 设  分别是  中唯一的 Sylow  子群,试证明:对任意 ,存在  使得  且 .

证明. 第一步. 对任一 , 令  是  的唯一的 (等价于正规的) Sylow -子群, 令 , 则 . 对任一 , 任意取定 , 则 . 而且对任意不同的 , 都有  彼此中心化. 进而  是  的包含  的幂零子群.

第二步. 任意取定  的包含  的幂零子群 . 则对任一 , 都存在 , 使得 .

综合第一步和第二步, 即可得出第三步.

第三步. 综合第一步和第二步, 可知对任一 , 任意取定 , 则  是  的极大的包含  的幂零子群, 亦即是  的相对于  的 \textbf{nilpotent injector}, 且  的相对于  的 \textbf{nilpotent injectors} 有且仅有如上形式.

第四步. 任意取定  的两个相对于  的 nilpotent injectors . 对任一 , 令  分别是  的唯一的 (等价于正规的) Sylow -子群. 则对任一 , 都存在 , 使得 .

由第三步即知对任一 , 都有 . 特别地, . 由 Sylow 第二定理, 即知存在 , 使得 .

假设对  (当然, 前提是 ), 已找到  (其中 ), 使得 . 令 . 则

故

而

再由 , 即知 . 由 Sylow 第二定理, 即知存在 , 使得 . 由此可见运用数学归纳法即可完成证明. 特别地, 令 , 则 , 进而 .

六、材料与选做题(任选其一)

21.尤承业《基础拓扑学》书中对于”Hausdorff 空间中紧集是闭集”的证明如下:

, 则 .  是 Hausdorff 空间, 因而  和  有不相交的开邻域  和  (它们都随  而改变).  构成  在  中的开覆盖, 有子覆盖 . 记 , 则它们都是开集 ( 是开集仰仗于"有限"), 并且分别是  和  的邻域. 因为 , 所以 .  即为所求.

是否用到了选择公理? 如果用到了, 请指出其在哪一步, 可否改进这个证明, 使得不强行用到选择公理?

解. 用到了. 选取. 定义, 此时验证构成的开覆盖即可.

22.请直接写出课上讲过的与选择公理等价的命题(写出三个).

解. Zorn引理, Koenig定理, 满射等价存在右逆.

23.关于单群与子群结构:

(1)  是否有21阶极大子群?

(2) 请举出有限单群中”同阶但不同构”的例子(不须证明).

解. (1) 有. Borel子群.

(2) .

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如果还有遗憾

又怎么样呢

伤了痛了懂了

就能好了吗

曾经依靠彼此的肩膀

如今各自在人海流浪

我爱他 轰轰烈烈最疯狂

我的梦 狠狠碎过却不会忘

逃不开 爱越深越互相伤害

越深的依赖 越多的空白

该怎么 去爱

我爱他 轰轰烈烈最疯狂

我的梦 狠狠碎过却不会忘

曾为他 相信明天就是未来

情节有多坏 都不肯醒来

我爱他 跌跌撞撞到绝望

我的心 深深伤过却不会忘

我和他 不再属于这个地方

最初的天堂 最终的荒唐

如果还有遗憾

是分手那天

我奔腾的眼泪

都停不下来

若那一刻重来 我不哭

让他知道我可以 很好

—— 我爱他 · 丁当