今天我们拆解的这套真题，正是复旦附中、华师大二附中的自招代数经典原题，是上海自招圈公认的“母题题库”，后续近10年的四校八大自招题中，有超过半数的代数题都能在这套题里找到原型。我们将以其中一道最具代表性的华二真题为核心，带大家吃透自招代数的核心解题思维，文末附全套15道真题+完整手写详解。
我们今天要拆解的核心母题，是2011年华师大二附中自主招生的第15题：
这道题是自招代数中最经典的“定义新运算+多元最值”组合题型，完美契合了华二自招“重思维、重灵活度”的命题风格，也是后续多年四校八大自招的高频变形考点。很多学生拿到这道题的第一反应是懵：三个变量放在min函数里，不知道从哪里下手，甚至有学生直接开始用高中的导数求最值，把简单问题复杂化，最后还算错了。
第一步：抓准底层逻辑，找对解题入口
首先我们要明确，这道题的核心考点，根本不是超前的高中知识，而是初中不等式最基础的一条性质：如果M是几个数的最小值，那么M一定小于等于这其中的每一个数。这就是自招解题中最核心的“放缩法”的底层逻辑，也是解决这类min/max最值问题的万能钥匙。
基于这个逻辑，我们可以直接得到三个基础不等式：
第二步：不等关系传递，完成核心转化
很多学生到这一步就停住了，不知道三个不等式怎么用，其实核心的转化就在这里：我们要做的，就是把前两个不等式变形，代入第三个不等式，把三个变量的不等式，转化为只关于M的不等式，从而求出M的范围。
因为x、y都是正实数，所以M也一定是正实数，不等式两边同时乘除正数，不等号方向不变。
第三步：验证等号成立，确认最终结果
到这里，我们已经求出了M的上限，但对于自招题来说，最关键的一步，是验证等号能不能成立——只有等号能成立，这个上限才是我们要找的最大值。
那什么时候等号成立呢？只有当我们的三个基础不等式的等号同时成立的时候，也就是：
方法拓展：一题多解，吃透通用逻辑
很多学生做完这道题，记完答案就过去了，但这恰恰浪费了一道最好的母题。我们要做的，是从这道题里，提炼出解决一类题的通用方法。除了上面的放缩法，这道题还有一个通用解法——分类讨论法：
对比两种方法，我们能很明显地看到，放缩法更简洁、更高效，也是自招考场上最推荐的方法——毕竟自招笔试时间紧张，能快速解题才是王道。
考点延伸：四校八大自招代数的命题规律与备考建议
从这道题，我们就能看出四校八大自招代数的命题逻辑：不考偏题怪题，不考超纲的知识，考的是你对基础知识点的理解深度，和灵活运用的能力。这道题用到的所有知识，都是初中不等式的基础内容，但就是能难住一大批中考满分的学生，核心就是很多学生只会套公式，不会理解底层逻辑。
复盘近15年的四校八大自招真题，代数模块的高频考点可以分为四大类：
1. 代数变形能力：包括配方、因式分解、分式化简，这是所有代数题的基础，比如这套题里的第1题、第3题、第11题，都是考察配方变形的能力；
2. 绝对值与非负性：这是复附自招的高频考点，比如这套题里的第2题、第6题、第13题，都是利用绝对值、二次根式的非负性解题；
3. 不等式与最值问题：这是自招代数的重中之重，占比超过30%，也是拉开分差的核心，比如我们今天拆解的第15题，还有第8题、第12题、第14题，都是最值问题；
4. 定义新运算与找规律：这是华二、上中等学校喜欢考的题型，比如这套题里的第9题，考察的是递推规律的总结能力。
针对这些考点，我们给备考四校八大自招的学生和家长3个最核心的备考建议：
第一，不要盲目超前学，先把初中代数的核心基础打透。很多家长一上来就让孩子学高中数学、刷竞赛题，结果就是初中的基础没吃透，高中的知识也学不扎实，最后自招题还是不会做。自招的核心是“深度”，不是“广度”，先把配方、因式分解、不等式这些核心模块的拓展题型学透，比学十章高中内容都有用。
第二，一定要刷真题，而且要刷上海本地四校八大的历年真题。自招命题有极强的延续性，很多题都是往年真题的变形，比如我们今天拆解的这道2011年华二的题，在2018年复附、2020年交附的自招题里都出现过几乎一样的变形。刷本地真题，就是最精准的备考，没有之一。
第三，做完题一定要总结母题逻辑，不要只记答案。很多学生刷了几百道题，遇到新题还是不会，核心就是没有总结。比如做完这道最值题，你要总结的是min/max函数的通用解法，放缩法的底层逻辑，而不是只记住答案是根号2。只有把每一道真题的底层逻辑吃透，才能做到“做一道题，会一类题”。
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