第十四届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答

(非数学专业类, 2023年05月27日)

一、填空题(本题满分30分,每小题6分)

(1) 极限 -2。

【解】

(2) 设 ，则  ****。

【解】

(3) 点  关于直线  的对称点  的坐标为 ****。

【解】 过点  且垂直于直线  的平面方程：

直线参数方程：，代入得 ，交点 。 由中点公式得对称点 。

(4) 二元函数  的所有极值的和等于 4。

【解】

驻点： 无极值， 极大值 ，故极值和为 。

(5) 幂级数  的收敛域为 ****。

【解】 收敛半径

 收敛， 发散，收敛域 。

二、(本题满分10分)

用正交变换将二次曲面

化为标准方程，并说明曲面类型。

【解】 二次型矩阵

特征值：。 正交变换后标准方程：

该曲面为单叶双曲面。

三、(本题满分12分)

设  二阶连续可导，，对任意简单闭曲线 ：

求 。

【解】 由曲线积分与路径无关条件 ，得

联立得 ，解得

四、(本题满分12分)

求曲线

绕  轴旋转围成区域的体积。

【解】 旋转曲面方程：

球面坐标下 ，体积

五、(本题满分12分)

证明： (1) ，； (2) ； (3) ，。

六、(本题满分12分)

设  在  一阶连续可导，证明：

等号成立当且仅当  为线性函数。

七、(本题满分12分)

证明级数

收敛，并求和。

【解】 收敛性：等价于 ，故收敛。 和为：